Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B e C são distintos e B pertence ao arco AC. Demonstre que a…

Questão

Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B e C são distintos e B pertence ao arco AC. Demonstre que a medida do ângulo inscrito ?ABC é igual à metade da medida do ângulo central ?AOC que subtende o mesmo arco AC. Apresente justificativa geométrica completa.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere a circunferência de centro O e os pontos A, B, C, com B no arco AC. Trace os segmentos OA, OB e OC (raios). Os triângulos OBA e OBC são isósceles (OA = OB = OC). Coloque o ponto B de modo que os arcos considerados sejam menores que 180°. Considere os ângulos no vértice B: ?ABC é inscrito e subtende o arco AC. O ângulo central ?AOC também subtende o mesmo arco AC. Note que ao unir O a B obtém-se o triângulo isósceles OBA e OBC; os ângulos na base desses triângulos relacionam-se com os ângulos inscritos. Uma construção útil é duplicar ?ABC: dois ângulos inscritos congruentes que subtendem o mesmo arco AC, posicionados simetricamente em torno da corda AC, somam-se ao ângulo central. Formalmente, projetando as medidas angulares ao redor do centro, conclui-se que m(?AOC) = m(?ABC) + m(?ABC) = 2·m(?ABC). Portanto m(?ABC) = 1/2·m(?AOC). Alternativamente, pode-se usar arcos: m(arc AC) = m(?AOC) e um ângulo inscrito que subtende o mesmo arco mede metade da medida desse arco; logo m(?ABC) = 1/2·m(arc AC) = 1/2·m(?AOC).

Explicação

A explicação demonstra que os ângulos inscritos e centrais que subtendem o mesmo arco estão relacionados por uma propriedade fundamental da geometria das circunferências. A construção dos triângulos isósceles e a duplicação do ângulo inscrito evidenciam que a soma dos ângulos na base é igual ao ângulo central. Assim, a relação entre as medidas dos ângulos é estabelecida, confirmando que o ângulo inscrito é sempre a metade do ângulo central correspondente.

Raio-X da questão

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