Sejam A, B, C, D pontos distintos sobre uma mesma circunferência tal que a corda AC é paralela à corda BD (AC…

Questão

Sejam A, B, C, D pontos distintos sobre uma mesma circunferência tal que a corda AC é paralela à corda BD (AC ? BD). Prove que os arcos correspondentes AC e BD têm a mesma medida e que quaisquer ângulos inscritos que subtendem AC e BD são congruentes.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere o centro O do círculo e os arcos AC e BD. As medidas dos arcos são dadas pelos ângulos centrais ?AOC e ?BOD. 2) Como AC ? BD, os segmentos secantes OA e OC interceptam as retas que contêm as cordas e os ângulos centrais formados por OA e OC e por OB e OD são correspondentes quando transportados por translação paralela ao eixo que une os pontos médios das cordas; geometricamente isto implica que os triângulos OAC e OBD são congruentes por considerar que OA = OB = OC = OD (raios) e os pares de ângulos entre os raios e as cordas são iguais pela paralelismo das cordas. 3) Da congruência dos triângulos segue que ?AOC = ?BOD, logo as medidas dos arcos AC e BD são iguais (medida do arco = medida do ângulo central correspondente). 4) Sejam ?APC e ?BQD ângulos inscritos que subtendem os arcos AC e BD, respectivamente. A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco que subtende; como os arcos AC e BD têm a mesma medida, vale ½·m(arc AC) = ½·m(arc BD), portanto ?APC = ?BQD. 5) Conclusão: arcos AC e BD têm igual medida e quaisquer ângulos inscritos que os subtendem são congruentes. (Rigorosamente, pode-se formalizar a etapa 2 usando simetrias ou propriedades de paralelismo entre cordas e as posições relativas dos centros para estabelecer igualdade dos ângulos centrais.)

Explicação

A explicação demonstra que, devido ao paralelismo das cordas, os triângulos formados pelos raios e as cordas são congruentes, resultando em ângulos centrais iguais. Isso implica que os arcos subtendidos também têm a mesma medida. Além disso, a relação entre ângulos inscritos e arcos garante que os ângulos correspondentes são congruentes.

Raio-X da questão

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