Demonstre por que a diagonal de um quadrado de lado 1 unidade não pode ser expressa como número racional…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Demonstre por que a diagonal de um quadrado de lado 1 unidade não pode ser expressa como número racional. Apresente prova completa.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Suponha v2 = p/q com p,q inteiros coprimos. Então p² = 2q², logo p² é par e p é par: p=2k. Substituindo: 4k² = 2q² ? 2k² = q², logo q² é par e q é par. Assim p e q têm fator 2 comum, contradizendo coprimos. Portanto v2 não é racional; logo diagonal (v2) é irracional.
Explicação
A resposta demonstra que a suposição inicial de que a diagonal pode ser expressa como uma fração leva a uma contradição, mostrando que tanto o numerador quanto o denominador devem ser pares, o que contradiz a condição de serem coprimos. Essa contradição implica que a suposição estava errada, provando que a diagonal não pode ser um número racional. Portanto, a diagonal do quadrado é um número irracional, especificamente a raiz quadrada de 2.
Raio-X da questão
números irracionais
avaliacao
números racionais e irracionais · propriedades dos quadrados
Revisar a definição de números racionais e irracionais.
O aluno pode confundir a definição de números racionais, acreditando que a diagonal pode ser expressa como uma fração simples.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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