Explique como seria possível determinar se a raiz quadrada de 2 é um número irracional e quais as implicações…

Questão

Explique como seria possível determinar se a raiz quadrada de 2 é um número irracional e quais as implicações disso na matemática.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A raiz quadrada de 2 é considerada irracional pois não pode ser expressa como uma fração. Para demonstrar sua irracionalidade, podemos usar uma prova por contradição. Assume-se que v2 é racional, ou seja, pode ser escrito como uma fração a/b (com a e b inteiros e sem fatores em comum). Elevando ambos os lados ao quadrado, tem-se 2 = a²/b², o que implica que a² = 2b². Isso significa que a² é par, logo a também é. Se a é par, podemos escrever a como 2k (onde k é um inteiro), e substituindo obtemos 2k² = b², o que implica que b também é par. Portanto, tanto a quanto b são pares, o que contradiz nossa suposição inicial de que a/b não possui fatores em comum. Essa contradição leva à conclusão de que v2 é irracional e demonstra a riqueza dos números reais na matemática.

Explicação

A resposta apresenta uma prova por contradição que demonstra claramente a irracionalidade da raiz quadrada de 2, utilizando a relação entre números pares e ímpares. Ao mostrar que a suposição inicial leva a uma contradição, a explicação reforça a ideia de que a raiz quadrada de 2 não pode ser expressa como uma fração. Essa conclusão tem implicações significativas na matemática, pois evidencia a existência de números irracionais e enriquece a compreensão dos números reais.

Raio-X da questão

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