Um arquiteto está projetando um parque com uma praça quadrada. Cada lado da praça mede 10 metros. Ele precisa…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um arquiteto está projetando um parque com uma praça quadrada. Cada lado da praça mede 10 metros. Ele precisa calcular a medida da diagonal para planejar o caminho mais curto entre dois vértices opostos. Determine a medida exata da diagonal da praça e classifique esse número como racional ou irracional.
- A) A diagonal mede 7√2 metros e é irracional.
- B) A diagonal mede 10 metros e é racional.
- C) A diagonal mede 14 metros e é irracional.
- D) A diagonal mede 10√2 metros e é irracional.
- E) A diagonal mede 20 metros e é racional.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A praça é quadrada, então a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos iguais, cujos catetos são os lados da praça, de 10 metros cada. Passo 2: Pelo teorema de Pitágoras, d^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200. Passo 3: Logo d = raiz de 200. Como 200 = 100 x 2, temos raiz de 200 = raiz de 100 x raiz de 2 = 10 raiz de 2, ou seja, d = 10√2 metros, que é a medida exata. Passo 4: Um número é racional quando pode ser escrito como fração de dois inteiros com denominador não nulo. Raiz de 2 não é exata nem dízima periódica, portanto é irracional, e 10 vezes um irracional continua irracional. Logo a diagonal é irracional. Passo 5: Conclusão: a alternativa correta é a D. A alternativa A está errada porque 7√2 não corresponde ao cálculo com lado 10. A alternativa B está errada porque a diagonal é maior que o lado, não igual a ele. A alternativa C está errada porque 14 é apenas uma aproximação decimal de 10√2 (cerca de 14,14), não a medida exata. A alternativa E está errada porque 20 é a soma de dois lados, e não a diagonal, que é mais curta que esse caminho pelos lados.
💡 Dica: Use o teorema de Pitágoras para calcular a diagonal.
Alternativa por alternativa
Errou o cálculo ao simplificar a raiz de 200, tratando a soma dos quadrados como se fosse 98 ou tirando um fator de 7 em vez de 10. Não aplicou corretamente a fatoração de 200 como 100 x 2.
Acredita que a diagonal de um quadrado tem a mesma medida do lado, talvez por intuição visual ou por não aplicar o teorema de Pitágoras.
Arredondou 10√2 (aproximadamente 14,14) para 14 e tomou esse valor aproximado como medida exata, o que contraria o pedido de medida exata.
Por que engana: Confundir a diagonal com o comprimento do lado do quadrado, escolhendo a alternativa A.
Em um quadrado, a diagonal é a hipotenusa de um triângulo retângulo com os dois catetos medindo 10 metros. Pelo teorema de Pitágoras, d² = 10² + 10² = 200. Assim, d = √200 = 10√2 metros. Como √2 é irracional, 10√2 também é irracional.
Somou os dois lados do quadrado (10 + 10 = 20), confundindo o caminho pelo contorno com a diagonal, que é o trajeto mais curto entre vértices opostos.
Raio-X da questão
diagonal de quadrado
avaliacao
teorema de pitagoras · propriedades do quadrado
Revisar o teorema de Pitágoras e propriedades de quadrados.
Confundir a diagonal com o comprimento do lado do quadrado, escolhendo a alternativa A.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cotidiano
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