Exercícios de proporções: 6 questões com gabarito comentado

Quando comecei a dar aula de proporcionalidade, eu sempre sentia que os alunos decoravam a regra da multiplicação cruzada e esqueciam o sentido da coisa. Depois de algumas provas assim, passei a montar questões que obrigam o aluno a pensar sobre a natureza da relação entre as grandezas antes de calcular qualquer coisa.

Neste artigo reuno seis exercícios de proporções com gabarito comentado, todos vindos da base de questões do GeraProva, com a explicação de cada alternativa errada. Assim você pode usar direto em sala ou adaptar para a sua prova.

O que são grandezas diretamente e inversamente proporcionais?

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao aumentar uma, a outra aumenta na mesma razão, de modo que a razão entre elas permanece constante. São inversamente proporcionais quando, ao aumentar uma, a outra diminui de modo que o produto entre elas se mantém constante. Quando nenhuma dessas condições se cumpre, dizemos que as grandezas são não proporcionais. Na minha experiência, a maior parte dos erros dos alunos nasce de tratar qualquer crescimento como proporcionalidade direta. Por isso, antes de qualquer cálculo, vale perguntar: a razão se mantém? O produto se mantém? Se nenhuma das duas, a relação não é proporcional. Ao gerar listas no GeraProva, costumo misturar esses três tipos justamente para o aluno precisar classificar antes de resolver.

Essa diferença aparece em situações do cotidiano, como preço e quantidade (direta), número de torneiras e tempo de enchimento (inversa) e altura e peso de uma pessoa (não proporcional). Insistir nessa classificação antes do cálculo reduz muito a aplicação mecânica de fórmulas.

Como o aluno pode testar a relação?

• Verifique se a razão entre os valores correspondentes é constante (proporção direta).
• Verifique se o produto entre os valores correspondentes é constante (proporção inversa).
• Se nenhum dos testes funcionar, a relação é não proporcional.

Como avaliar proporcionalidade com questões de múltipla escolha?

Para avaliar bem, o ideal é que as alternativas erradas representem erros conceituais comuns, e não apenas contas trocadas. Nas questões abaixo, cada distrator corresponde a um raciocínio equivocado que já observei nas minhas turmas, como supor que todo aumento é proporcional ou ignorar o termo constante de uma função. Quando a alternativa errada tem uma explicação clara, o aluno aprende com o erro, e não apenas marca outra letra.

Com o cadastro grátis no GeraProva você pode gerar questões nesse mesmo formato, com distratores pensados para cada tipo de equívoco, e ajustar o nível de dificuldade conforme a turma.

Quais são os exercícios de proporções com gabarito comentado?

A seguir estão seis questões completas, com enunciado, alternativas marcadas (✅ para a correta e ❌ para as erradas), explicação de cada alternativa, dica de resolução e a indicação de habilidade da BNCC e de nível cognitivo. Os dados de cada questão aparecem ao final de cada bloco.

Questões prontas com gabarito comentado

Questão 1: proporcionalidade direta e função linear no plano cartesiano

— Se houver taxa inicial, uma entrega sem percurso já terá custo — observou a representante dos ciclistas durante uma simulação fictícia para contratar um serviço de entregas. A prefeitura definiu que o valor C, em reais, deveria variar em proporção direta à distância d, em quilômetros, percorrida. Cinco empresas apresentaram seus modelos: P: C = 8 + 1,5d; Q: C = 1,5d; R: C = 5 + 2d; S: C = 2 + 0,5d; e T: C = 4 + 3d. A comissão precisa reconhecer, no plano cartesiano, o modelo que atende à condição estabelecida.

Analise os modelos apresentados e identifique a representação geométrica que atende à condição de proporcionalidade direta definida pela prefeitura.

• ❌ A) A reta do modelo T, que intercepta o eixo vertical em 4. — Erro de considerar apenas o coeficiente da distância: o termo constante 4 indica custo mesmo quando a distância é zero.
• ❌ B) A reta do modelo S, que intercepta o eixo vertical em 2. — Erro de associar menor valor inicial à proporcionalidade: o termo constante 2 desloca a reta para cima no plano cartesiano.
• ✅ C) A reta do modelo Q, que passa pela origem do plano. — No modelo Q, C = 1,5d não há termo constante. Logo, para d = 0, C = 0, e a reta passa pela origem.
• ❌ D) A reta do modelo P, que intercepta o eixo vertical em 8. — Erro de confundir crescimento linear com proporcionalidade: o termo constante 8 faz com que a reta não passe pela origem.
• ❌ E) A reta do modelo R, que intercepta o eixo vertical em 5. — Erro de ignorar a taxa fixa: embora o custo aumente com a distância, o valor inicial 5 impede a proporcionalidade direta.

Dica de resolução: identifique a função que representa proporcionalidade direta, ou seja, sem termo constante. Conceito central: proporcionalidade direta, função linear. Conceito para revisão: funções lineares e a definição de proporcionalidade direta. Esta questão trabalha a habilidade EM13MAT401 da BNCC, com nível Bloom Aplicar e raciocínio crítico.

Questão 2: classificação de grandezas como proporcionais ou não proporcionais

Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

• ❌ A) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são proporcionais. — A primeira relação foi identificada corretamente, mas a segunda foi considerada diretamente proporcional. Mais horas de estudo não garantem uma nota que aumente sempre na mesma proporção.
• ❌ B) Ambas são diretamente proporcionais. — Esse raciocínio supõe que, ao aumentar uma grandeza, a outra sempre aumenta na mesma proporção. Isso não é garantido em nenhuma das duas relações.
• ❌ C) Ambas são inversamente proporcionais. — Esse raciocínio supõe que, ao aumentar uma grandeza, a outra diminui de modo que o produto entre elas fique constante. Isso não descreve as relações apresentadas.
• ✅ D) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são não proporcionais. — Nenhuma das relações descritas é proporcional. A altura e o peso de uma pessoa não mantêm uma razão constante, e estudar mais horas não garante uma nota que aumente sempre na mesma proporção.
• ❌ E) Altura e peso são diretamente proporcionais; horas e nota são não proporcionais. — A segunda relação foi identificada corretamente, mas a primeira foi considerada diretamente proporcional. A altura e o peso não mantêm uma razão constante.

Dica de resolução: verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Conceito para revisão: revise os critérios de proporcionalidade direta e inversa e diferencie associação de proporcionalidade. Esta questão trabalha a habilidade EF08MA12 da BNCC, com nível Bloom Analisar e raciocínio crítico.

Questão 3: identificar a situação de proporcionalidade inversa

Comparar as situacoes e identificar aquela que representa proporcionalidade inversa.

• ❌ A) Litros de tinta e area pintada, com mesmo rendimento — Mais area exige mais tinta. A relacao e direta.
• ❌ B) Preco por unidade e quantidade paga, com valor fixo por unidade — Mantido o preco unitario, pagando mais compra-se mais unidades. Relacao direta.
• ❌ C) Distancia percorrida e combustivel gasto, com mesmo consumo — Maior distancia tende a exigir mais combustivel. Relacao direta.
• ❌ D) Numero de paginas e massa do caderno, com mesmo tipo de papel — Mais paginas aumentam a massa. Relacao direta.
• ✅ E) Numero de torneiras iguais abertas e tempo para encher um tanque — Abrindo mais torneiras, o tempo diminui na mesma proporcao. Relacao inversa.

Dica de resolução: analise as relações entre as grandezas para identificar a proporcionalidade inversa. Conceito central: proporcionalidade inversa. Conceito para revisão: revisar o conceito de proporcionalidade inversa e suas características. Esta questão trabalha a habilidade EF09MA08 da BNCC, com nível Bloom Analisar e raciocínio dedutivo.

Questão 4: aumentos percentuais sucessivos e volume em um processo de aeração

ENEM - 2020 Um processo de aeração, que consiste na introdução de ar num líquido, acontece do seguinte modo: uma bomba B retira o líquido de um tanque T1 e o faz passar pelo aerador A1, que aumenta o volume do líquido em 15%, e em seguida pelo aerador A2, ganhando novo aumento de volume de 10%. Ao final, ele fica armazenado num tanque T2, de acordo com a figura.

Os tanques T1 e T2 são prismas retos de bases retangulares, sendo que a base de T1 tem comprimento c e largura L, e a base de T2 tem comprimento e largura 2L.

Para finalizar o processo de aeração sem derramamento do líquido em T2, o responsável deve saber a relação entre a altura da coluna de líquido que já saiu de T1, denotada por x, e a altura da coluna de líquido que chegou a T2, denotada por y.

Disponível em: www.dec.ufcg.edu.br. Acesso em: 21 abr. 2015. A equação que relaciona as medidas das alturas y e x é dada por

A equação que relaciona as medidas das alturas y e x é dada por

• ✅ A) Y = 1,265x — Certa, pois a relação entre as alturas é dada pela proporção dos volumes após os aumentos de 15% e 10%.
• ❌ B) Y = 1,250x — Errada, pois não considera corretamente os aumentos sucessivos de volume.
• ❌ C) Y = 1,150x — Errada, pois não reflete a relação correta entre os volumes após a aeração.
• ❌ D) Y = 1,125x — Errada, pois não leva em conta o aumento total do volume do líquido após passar pelos aeradores.
• ❌ E) Y = x — Errada, pois ignora os aumentos de volume, resultando em uma relação incorreta entre as alturas.

Dica de resolução: calcule o volume inicial, aplique os aumentos percentuais e iguale ao volume final para encontrar y em função de x. Conceito central: aumento percentual e volume. Conceito para revisão: revisar porcentagem, volume de prismas e relações proporcionais. Esta questão trabalha a habilidade EM13CNT301 da BNCC, com nível Bloom Aplicar e raciocínio dedutivo.

Questão 5: área superficial após a divisão de um paralelepípedo

Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura. Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de UNESP - 2016

• ❌ A) 42%. — O aumento de 42% é exagerado porque, ao dividir o paralelepípedo pelo plano das diagonais, a área adicionada (correspondente às duas superfícies internas criadas) não corresponde a quase metade da superfície original. O erro está em superestimar a área criada nas novas faces internas.
• ❌ B) 36%. — A alternativa de 36% erra de forma similar à anterior: estima um aumento expressivo, porém, ao se calcular geometricamente, o crescimento da área não chega a esse valor. O método correto (comparação entre as superfícies externas antes e após a divisão) mostra que é menos que isso.
• ❌ C) 32%. — O aumento de 32% também é uma superestimação do crescimento real da área superficial. Ao considerar as superfícies internas criadas, a porcentagem correta não chega a esse valor. O erro ocorre na análise das novas áreas expostas.
• ✅ D) 26%. — Correta. Ao dividir o paralelepípedo, são criadas duas novas superfícies (diagonais), que aumentam a área externa. Comparando a área total de pintura antes (área total do paralelepípedo) e depois (área total das faces externas dos dois prismas), o novo total é cerca de 26% maior. Isso ocorre porque a soma das áreas dessas duas novas faces (criadas pelo corte) equivale aproximadamente a 26% da área original do paralelepípedo.
• ❌ E) 28%. — O valor de 28% não corresponde ao aumento real, embora seja próximo ao correto. O erro está na imprecisão do cálculo, pois a resposta exata chega a aproximadamente 26%, conforme apurado por uma análise detalhada das áreas.

Dica de resolução: calcule as áreas das faces antes e depois da divisão para comparar a tinta necessária. Conceito central: área superficial de prismas. Conceito para revisão: estude cálculo de área superficial de prismas e paralelepípedos. Esta questão trabalha a habilidade EM13MAT309 da BNCC, com nível Bloom Analisar e raciocínio crítico.

Questão 6: princípio de Cavalieri aplicado a prismas retos e oblíquos

Ao projetar duas peças para um expositor, uma equipe comparou um bloco em forma de prisma reto e outro em forma de prisma obliquo. Os dois possuem a mesma base e a mesma altura. Para verificar se ocupam o mesmo espaco, a equipe imaginou cortes paralelos a base em varias alturas e observou que, em cada corte, as areas das secoes sao iguais nos dois blocos. A partir dessa comparacao, concluiu-se que, embora uma das pecas esteja inclinada, a quantidade de material usada em cada uma pode ser a mesma, desde que a distribuicao das secoes ao longo da altura seja equivalente.

Considere as informacoes do texto-base e conclua, pelo principio de Cavalieri, a relacao entre os volumes dessas duas pecas.

• ❌ A) O volume do prisma reto e maior, pois ele apresenta faces laterais perpendiculares a base. — Erro de associar perpendicularidade a maior volume; a altura e as secoes equivalentes determinam o volume, nao o formato lateral.
• ✅ B) Os volumes sao iguais, pois as secoes paralelas a base tem areas iguais em todas as alturas. — Correta. Pelo principio de Cavalieri, solids com mesma altura e secoes equivalentes em todas as alturas possuem o mesmo volume.
• ❌ C) Nao e possivel comparar os volumes, porque a inclinacao impede qualquer relacao entre as secoes. — Erro de negação do principio de Cavalieri: a inclinacao nao impede a comparacao, desde que as secoes sejam correspondentes e iguais.
• ❌ D) O volume do prisma obliquo e maior, pois a inclinacao aumenta o espaco ocupado. — Erro de visualizacao espacial: a inclinacao altera a forma, nao o volume, quando as secoes correspondentes sao iguais.
• ❌ E) Os volumes so seriam iguais se as bases tivessem formatos diferentes e alturas iguais. — Erro de criterio: o texto informa bases iguais; alem disso, a igualdade de volumes depende das secoes correspondentes, nao de bases diferentes.

Dica de resolução: use o princípio de Cavalieri para comparar volumes com seções transversais iguais. Conceito central: princípio de Cavalieri e volumes. Conceito para revisão: estude o princípio de Cavalieri e propriedades de prismas retos e oblíquos. Esta questão trabalha a habilidade EM13MAT504 da BNCC, com nível Bloom Analisar e raciocínio crítico.

Como usar essas questões na minha rotina de planejamento?

Costumo usar duas ou três dessas questões como aquecimento antes de uma prova, e deixo as demais para revisão em casa. A questão 2 é ótima para abrir a aula, porque provoca discussão imediata entre os alunos. A questão 4, de aeração, exige mais tempo, então funciona bem como atividade em grupo. Quando monto a avaliação completa, reúno questões de diferentes níveis de Bloom para não ficar só na aplicação mecânica.

Se você quer montar listas assim sem passar horas procurando questões em livros, o GeraProva gera provas a partir do tema, da série e da habilidade da BNCC que você escolher, já com gabarito e explicação de cada alternativa. Dá para começar pelo cadastro grátis e testar com a sua própria turma.

Este artigo é um apoio para o seu planejamento: revise as questões antes de aplicá-las, adapte o nível à sua turma e, se quiser economizar tempo na próxima prova, experimente o GeraProva com um tema seu e veja se o resultado combina com o que você precisa.