Probabilidade da união de dois eventos: exercícios resolvidos

Quando comecei a dar aulas de probabilidade, percebi que o aluno decorava a fórmula da união, mas se perdia assim que o enunciado trocava uma moeda por uma urna com retirada sem reposição. Na minha turma do 2º ano, a dúvida mais comum era sempre a mesma: "professor, eu multiplico ou somo?". Essa confusão me levou a montar uma lista de exercícios bem graduada, e foi isso que me fez perceber o quanto a base de questões pode economizar horas de preparo.

Neste post, reuni seis questões reais da base do GeraProva, todas com gabarito comentado, e explico como eu as uso para separar, na prática, eventos independentes de dependentes. Se você ainda não conhece a plataforma, vale começar pela página inicial do GeraProva.

O que é a probabilidade da união de dois eventos?

A probabilidade da união de dois eventos A e B é a chance de que ocorra pelo menos um deles, e é calculada por P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Quando os eventos são disjuntos, a interseção é zero e a fórmula se reduz à soma. Já a probabilidade de ocorrerem ambos, P(A ∩ B), depende de os eventos serem independentes ou dependentes: no primeiro caso, multiplicamos as probabilidades; no segundo, usamos a probabilidade condicional. Entender essa diferença é o que separa o aluno que resolve do aluno que apenas copia a fórmula.

Por que a regra do produto aparece tanto nas questões?

Na prática, quase toda questão de união envolve, em algum momento, uma interseção. Por isso, a regra do produto aparece em praticamente todas as avaliações de probabilidade. Eu costumo dizer aos alunos que a pergunta-chave é sempre: "o primeiro resultado muda as chances do segundo?". Se a resposta for não, multiplicamos direto. Se for sim, precisamos condicionar.

Como diferenciar eventos independentes de dependentes?

Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro, e dependentes quando alteram. Na prática, a forma mais segura de verificar é comparar P(A ∩ B) com P(A) · P(B): se forem iguais, os eventos são independentes. Em lançamentos de moeda, isso quase sempre acontece; em retiradas sem reposição, quase nunca. O GeraProva gera questões com esse tipo de comparação justamente porque é ali que os alunos mais erram.

• Lançamentos sucessivos (moeda, dado): costumam ser independentes.
• Retiradas sem reposição (urnas, cartas, fichas): costumam ser dependentes.
• Verificação rápida: confira se P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Como resolver exercícios de probabilidade passo a passo?

Minha rotina em sala tem três passos: primeiro, escrever o espaço amostral ou pelo menos contar os casos favoráveis e totais; depois, decidir se há dependência; por fim, aplicar a regra adequada. Esse roteiro cabe em um quadro e resolve a maior parte dos problemas do ensino médio. Quando faço isso com uma lista de seis questões, os alunos conseguem sair da aula sabendo a diferença entre multiplicar e condicionar.

Quantas questões usar para fixar o conteúdo?

Na minha experiência, de seis a oito questões bem escolhidas, com graus de dificuldade variados, já bastam para uma aula de fixação. Comece com uma questão fácil de lançamento de moeda, passe por uma de urna sem reposição e finalize com um problema de interpretação. Assim você cobre a teoria inteira sem cansar a turma. Se quiser montar essa lista sem gastar o fim de semana digitando, o cadastro grátis no GeraProva permite gerar provas e listas com esse nível de controle.

Questões prontas com gabarito comentado

A seguir estão as seis questões da base, com alternativas marcadas, explicação de cada distrator e dica de resolução. Use-as como estão ou adapte os números para outras turmas.

Questão 1: Eventos dependentes e independentes em moeda e urna

Considere dois experimentos: (A) lançar uma moeda justa duas vezes; (B) retirar, sem reposição, duas fichas de uma urna contendo 3 fichas vermelhas e 2 fichas azuis. Para cada experimento, indique se o evento pedido é independente ou dependente e calcule a probabilidade: (A) obter cara em ambas as jogadas; (B) obter as duas fichas azuis.

• ❌ A) Dependentes; P(2 caras) = 1/4; B) Dependentes; P(2 azuis) = 1/5. — A primeira probabilidade é correta, mas a segunda não considera a dependência correta.
• ✅ B) Independentes; P(2 caras)=1/2·1/2=1/4. B) Dependentes; P(2 azuis)=(2/5)·(1/4)=1/10. — No lançamento de moeda o resultado da segunda jogada não é afetado pela primeira (independência), então multiplica-se 1/2·1/2. Na retirada sem reposição a segunda probabilidade depende do resultado da primeira, aplicando-se probabilidade condicional: 2/5 para a primeira azul e 1/4 para a segunda.
• ❌ C) Dependentes; P(2 caras) = 1/2 + 1/2 = 1/2. — A soma não é a forma correta de calcular probabilidade de eventos independentes.
• ❌ D) Independentes; P(2 caras) = 1/4; B) Independentes; P(2 azuis) = 1/4. — A retirada sem reposição implica dependência entre os eventos.
• ❌ E) Independentes; P(2 caras) = 1/4; B) Dependentes; P(2 azuis) = 3/10. — O cálculo de P(2 azuis) sem considerar a dependência é incorreto.

Dica de resolução: compare se o primeiro resultado altera as chances do segundo e multiplique as probabilidades sucessivas. Conceito central: probabilidade de eventos dependentes e independentes. Conceito para revisão: regra do produto e diferença entre eventos independentes e dependentes em retiradas sem reposição. BNCC: EF08MA22. Bloom: Aplicar.

Questão 2: Probabilidade de dois eventos independentes

Suponha que ocorra um evento A com probabilidade de 0,6 e um evento B com probabilidade de 0,5. Se A e B são independentes, qual a probabilidade de ambos ocorrerem?

• ❌ A) 0,1 — Esse cálculo não é correto para eventos independentes.
• ❌ B) 0,25 — É um cálculo incorreto para esses eventos.
• ✅ C) 0,3 — Correta, pois é o produto das duas probabilidades.
• ❌ D) 0,5 — Esse é o valor de um dos eventos, não de ambos.
• ❌ E) 0,6 — Isso é a probabilidade do evento A.

Dica de resolução: calcule a probabilidade de A e B multiplicando suas probabilidades. Conceito central: probabilidade de eventos independentes. Conceito para revisão: multiplicação de probabilidades de eventos independentes. BNCC: EM13MAT312. Bloom: Aplicar.

Questão 3: Probabilidade conjunta com eventos independentes

Em uma academia, a chance de um aluno completar a série é 0,8. A chance de o relógio marcar o tempo correto em outro aparelho é 0,95. Os eventos são independentes. — Qual é a probabilidade de completar a série e o relógio marcar o tempo correto?

• ❌ A) 0,20, pois a probabilidade de completar a série é a única informação relevante para a situação. — O aluno considera apenas um dos eventos e ignora a condição do relógio marcar o tempo correto, que também faz parte do que foi pedido.
• ✅ B) 0,76, pois basta multiplicar 0,8 por 0,95. — Aplica corretamente a regra do produto para eventos independentes, encontrando a probabilidade conjunta pedida.
• ❌ C) 0,04, pois a chance de não completar a série e o relógio marcar o tempo correto é o que foi solicitado. — O aluno troca o evento pedido por seu complemento, usando uma situação diferente da que o enunciado solicita.
• ❌ D) 0,95, pois o relógio marcar o tempo correto já garante o resultado final pedido. — O aluno trata um dos eventos como se fosse suficiente para determinar o resultado, mas o enunciado exige a ocorrência simultânea dos dois acontecimentos.
• ❌ E) 0,85, pois a chance total é obtida somando as duas probabilidades informadas. — O aluno soma probabilidades que deveriam ser combinadas por multiplicação. A soma não representa a ocorrência conjunta de eventos independentes.

Dica de resolução: em eventos independentes, multiplique as probabilidades. Conceito central: probabilidade conjunta em eventos independentes. Conceito para revisão: regra do produto para eventos independentes. BNCC: EM13MAT312. Bloom: Aplicação.

Questão 4: Teste de independência com duas moedas

Lance uma moeda justa duas vezes. Define A = "ocorre cara no primeiro lançamento" e B = "ocorre cara no segundo lançamento". Os eventos A e B são independentes? Justifique com cálculo de probabilidades.

• ❌ A) Não; P(A∩B)=1/2, enquanto P(A)·P(B)=1/4. — O cálculo incorreto usa 1/2 como probabilidade de obter cara nos dois lançamentos. Para que ambos resultem em cara, as probabilidades devem ser multiplicadas: 1/2·1/2=1/4.
• ❌ B) Sim; eventos A e B têm uma probabilidade de 1/3 de ocorrerem juntos. — A probabilidade de cara nos dois lançamentos é 1/2·1/2=1/4, não 1/3.
• ❌ C) Sim; eventos A e B são dependentes, pois não podem ocorrer simultaneamente. — A afirmação de que os eventos não podem ocorrer simultaneamente é falsa: pode sair cara nos dois lançamentos. Além disso, a conclusão de dependência não decorre dessa afirmação.
• ❌ D) Não; A e B são dependentes pois o primeiro lançamento afeta o segundo. — Esse raciocínio supõe que o resultado do primeiro lançamento altera as chances do segundo. Em lançamentos de uma moeda, porém, o resultado anterior não altera a probabilidade de cara no lançamento seguinte.
• ✅ E) Sim; são independentes, pois P(A∩B)=1/4 = P(A)·P(B). — Cada lançamento tem probabilidade 1/2 de resultar em cara. A probabilidade de ocorrer cara nos dois lançamentos é 1/4, igual ao produto das probabilidades de A e B; portanto, os eventos são independentes.

Dica de resolução: calcule P(A), P(B) e P(A∩B), depois compare P(A∩B) com P(A)·P(B). Conceito central: independência de eventos aleatórios. Conceito para revisão: definição de eventos independentes e cálculo em lançamentos de moeda. BNCC: EF09MA20. Bloom: Aplicar.

Questão 5: Números primos sorteados sem reposição

Em uma atividade de Matemática sobre a segurança de códigos numéricos, uma turma sorteia, sem reposição, dois números distintos do conjunto formado pelos inteiros de 1 a 20. Considere como número primo aquele que possui exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. No primeiro sorteio, define-se o evento A como “o número sorteado é primo”; no segundo, define-se o evento B como “o número sorteado é primo”. Com base nessa situação, assinale a alternativa que apresenta corretamente a probabilidade de os dois números sorteados serem primos e a relação de independência entre os eventos A e B.

• ❌ A) A probabilidade é 7/19, e os eventos A e B não são independentes. — A fração 7/19 é a probabilidade de o segundo número ser primo quando o primeiro já foi primo, isto é, P(B|A). Ela não representa a probabilidade conjunta de os dois números serem primos.
• ✅ B) A probabilidade é 14/95, e os eventos A e B não são independentes. — Entre os números de 1 a 20, há 8 primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. A probabilidade de o primeiro ser primo é 8/20. Sem reposição, se o primeiro for primo, restam 7 primos entre 19 números; assim, P(B|A)=7/19 e P(A∩B)=(8/20)·(7/19)=14/95. Como P(B|A)=7/19 é diferente de P(B)=8/20, os eventos não são independentes.
• ❌ C) A probabilidade é 7/50, e os eventos A e B não são independentes. — O cálculo correto para o segundo sorteio, condicionado ao primeiro ser primo, tem denominador 19, pois um número já foi retirado. Usar 20 nesse denominador produz 8/20·7/20=7/50.
• ❌ D) A probabilidade é 8/20, e os eventos A e B são independentes. — A expressão 8/20 corresponde apenas à probabilidade de um número sorteado ser primo, não à probabilidade de os dois números serem primos. Além disso, o sorteio sem reposição altera as probabilidades sucessivas.
• ❌ E) A probabilidade é 16/95, e os eventos A e B são independentes. — Este resultado usa 8/20 no primeiro sorteio e 8/19 no segundo, como se o número primo retirado retornasse ao conjunto. A reposição não ocorre, e a conclusão sobre independência também é incorreta.

Dica de resolução: calcule a probabilidade considerando os números primos no conjunto. Conceito central: probabilidade de eventos. Conceito para revisão: conceitos de probabilidade e independência de eventos. BNCC: EM13MAT312. Bloom: Analisar.

Questão 6: Duas moedas e a independência dos resultados

Duas moedas justas são lançadas simultaneamente. Seja A = 'a 1ª moeda dá cara' e B = 'a 2ª moeda dá cara'. Determine se A e B são eventos independentes e calcule P(A), P(B) e P(A n B).

• ❌ A) P(A n B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2. — Interseção não soma probabilidades, isso é incorreto.
• ❌ B) P(AnB) = 1/2, pois A e B sempre ocorrem juntos. — P(AnB) é de fato 1/4, não 1/2; erro lógico.
• ❌ C) P(A) é 3/4 e P(B) é 3/4, assim como P(AnB). — Cálculo errado; P(A)=1/2 e P(B)=1/2, não 3/4.
• ✅ D) Sim. P(A)=1/2, P(B)=1/2 e P(AnB)=1/4 = P(A)P(B). — Espaço amostral {HH,HT,TH,TT}. P(A)=2/4=1/2, P(B)=2/4=1/2, P(AnB)=1/4; o produto P(A)P(B)=1/4 é igual a P(AnB).
• ❌ E) Não são eventos independentes; A e B se influenciam mutuamente. — Eventos em espaço amostral separados não influenciam; são independentes.

Dica de resolução: calcule as probabilidades de cada evento e verifique a independência. Conceito central: probabilidade de eventos. Conceito para revisão: conceitos de probabilidade e eventos independentes. BNCC: EM13MAT312. Bloom: Lembrar.

Como eu uso essas questões na sala de aula?

Na minha prática, aplico primeiro as questões 2 e 6, mais diretas, para criar confiança, e só depois parto para a 1 e a 5, que exigem condicionamento. Peço que os alunos justifiquem a escolha entre multiplicar e condicionar antes de calcular, porque é nessa justificativa que o erro costuma aparecer. Em seguida, discutimos os distratores: quase sempre o aluno que escolheu a soma ou a probabilidade simples está revelando uma dúvida conceitual específica, e isso orienta a revisão do dia seguinte.

Quais erros aparecem com mais frequência?

Os erros que mais observo são: somar em vez de multiplicar, esquecer a reposição ou a ausência dela, e usar o denominador original no segundo sorteio. Cada um desses erros corresponde a um distrator das questões acima, o que torna a lista um diagnóstico útil. Ao final da aula, costumo pedir que cada aluno escreva, em uma frase, qual regra usou e por quê.

Vale a pena montar suas próprias listas?

Sim, e o caminho mais rápido é usar uma base que já traga gabarito e distratores explicados. Com o GeraProva, você pode gerar listas com esse padrão, ajustar números e dificuldade e aplicar em minutos. Se quiser experimentar com a sua turma, o cadastro grátis é o ponto de partida.

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