Lucro máximo: como encontrar xv e yv na função quadrática

Todo ano, quando chego na aula de funções quadráticas, sei que vai aparecer aquela pergunta: "professor, para que serve isso na vida real?". Na minha turma do ensino médio, a melhor resposta que encontrei foi o lucro de uma pequena empresa. Quando os alunos percebem que uma parábola pode dizer exatamente quantas camisetas vender para ganhar mais, a sala muda de postura.

Neste post, eu explico como encontrar o xv e o yv (coordenadas do vértice) de uma função de lucro, mostro os erros que mais vejo nos cadernos e deixo seis questões resolvidas para você usar em aula. No fim, mostro como o GeraProva ajuda a montar listas assim em poucos minutos.

O que são xv e yv em uma função quadrática?

O xv e o yv são as coordenadas do vértice da parábola que representa uma função quadrática do tipo f(x) = ax² + bx + c. O xv indica o valor de x em que a função atinge seu ponto extremo, e o yv indica o valor máximo ou mínimo que a função assume nesse ponto. Quando o coeficiente a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e o vértice é um ponto de máximo, exatamente o que interessa em problemas de lucro. Na prática, o xv responde "quantas unidades vender?" e o yv responde "quanto de lucro eu consigo com isso?". Essa leitura dupla é o motivo pelo qual o tema aparece tanto em provas do Enem e de vestibulares.

Por que o lucro forma uma parábola?

Em muitos modelos simples, o lucro cresce com as vendas até certo ponto e depois cai, porque vender demais exige descontos, custos extras ou gera saturação do mercado. Isso produz um gráfico em forma de parábola com concavidade para baixo. Eu gosto de mostrar isso com uma tabela de vendas simulada no quadro antes de qualquer fórmula.

Como calcular xv e yv passo a passo?

Para calcular o xv use a fórmula xv = -b/(2a). Depois, para encontrar o yv, substitua o xv na própria função: yv = f(xv). Esse processo sempre funciona e, com o GeraProva, você pode gerar listas com esse tipo de cálculo já resolvido para conferir. Na minha experiência, a maior parte dos erros acontece no sinal do b e na esquecida do 2 no denominador.

• Passo 1: identifique a, b e c na função, com atenção aos sinais.
• Passo 2: calcule xv = -b/(2a).
• Passo 3: substitua xv na função para obter yv.
• Passo 4: verifique a concavidade pelo sinal de a para saber se é máximo ou mínimo.

Erros que eu mais vejo nos cadernos

O primeiro é usar -b/a em vez de -b/(2a), que dobra o resultado. O segundo é trocar o sinal de b quando ele já é negativo. O terceiro é confundir o xv com as raízes da função, que são os pontos onde o lucro é zero. Vale pedir que o aluno sempre escreva a fórmula antes de substituir números.

Quando o lucro máximo aparece em provas?

O lucro máximo aparece em questões de contextualização que pedem a quantidade ideal de produção ou o preço ótimo. Nessas questões, o enunciado costuma trazer uma expressão L(x) e perguntar em que valor de x o lucro é maior. A chave é lembrar que a pergunta quer o xv, e às vezes também o yv. Eu costumo treinar com seis ou sete questões seguidas, variando o contexto para que o aluno não decore um modelo só.

Questões prontas com gabarito comentado

Separei seis questões reais da base do GeraProva, com enunciado, alternativas, explicação de cada distrator e a leitura pedagógica de cada uma. Use como aquecimento ou prova rápida.

Questão 1: Por que o lucro de uma empresa nem sempre cresce linearmente?

Por que o lucro de uma empresa nem sempre cresce linearmente? Dados ilustrativos: uma pequena gráfica lançou um novo serviço de impressão. O gráfico da função lucro L(x), em centenas de reais, quanto vende x centenas de pedidos, é uma parábola no plano cartesiano com raízes em x=0 e x=20 e vértice em (10,200). Ou seja, o lucro é zero quando não há vendas ou quando são 2 000 pedidos, e atinge o máximo de R$ 20 000 quando vende 1 000 pedidos.

Analise o texto-base e determine a representação algébrica de L(x) na forma de vértice.

• ❌ A) -2(x+10)^2+200 — Deslocamento incorreto do vértice para x=-10, divergindo do ponto (10,200).
• ❌ B) -2x^2+40x — Embora equivalente ao expandir, esta não está na forma de vértice solicitada.
• ❌ C) -2(x-10)^2-200 — Valor k errado (-200), não corresponde ao lucro máximo de 200 centenas de reais.
• ✅ D) -2(x-10)^2+200 — Forma de vértice geral: L(x)=a(x-h)^2+k; usando L(0)=0 e vértice (10,200) calcula-se a=-2.
• ❌ E) 2(x-10)^2+200 — Coeficiente positivo indicaria parábola aberta para cima, não cumprindo as raízes dadas.

Dica de resolução: use as informações do vértice e raízes para montar a função quadrática na forma de vértice. Conceito central: função quadrática forma vértice. Para revisão: estude função quadrática e forma de vértice para representar funções parabólicas. Código BNCC: EM13MAT402. Nível de Bloom: Lembrar.

Questão 2: Determine os preços que maximizarão o lucro de camisetas

Uma empresa vende camisetas a partir de uma expressão de lucro dada por L = -x² + 10x - 21. Determine os preços que maximizarão o lucro.

• ✅ A) x = 5 — O lucro é maximizado com x = 5, onde a empresa vende 5 camisetas.
• ❌ B) x = 4 — x = 4 não maximiza o lucro, pois está abaixo do vértice.
• ❌ C) x = 3 — x = 3 é menor que o valor ótimo de x.
• ❌ D) x = 2 — x = 2 não é o ponto de máximo lucro.
• ❌ E) x = 6 — x = 6 é um ponto fora do máximo.

Dica de resolução: identifique o vértice da parábola para encontrar o preço máximo. Conceito central: função quadrática. Para revisão: revisar como encontrar o vértice de uma função quadrática. Código BNCC: EM13MAT503. Nível de Bloom: Analisar.

Questão 3: Estudo de mercado da marcenaria ArtCadeira

Manchete fictícia: estudo de mercado revela variação de lucro em marcenaria artesanal. A pequena empresa de móveis ArtCadeira analisa o lucro diário (em reais) ao produzir x cadeiras: L(x) = -5x^2 + 300x - 2000. Valores negativos indicam prejuízo. O gráfico de L(x) é uma parábola com coeficiente quadrático negativo, que tem ponto de lucro máximo.

Analise o texto-base e determine a quantidade de cadeiras que maximiza o lucro da ArtCadeira.

• ❌ A) 10 cadeiras — Confunde a raiz da equação L(x)=0 com o ponto de máximo, trocando locais e valores.
• ❌ B) 60 cadeiras — Equivoca-se ao usar -b/a em vez de -b/(2a), duplicando o valor real do vértice.
• ❌ C) 15 cadeiras — Resulta de dividir indevidamente o valor correto pela metade, erro na aplicação da fórmula do vértice.
• ✅ D) 30 cadeiras — O vértice de L(x) ocorre em x = -b/(2a) = -300/(2·-5) = 30 cadeiras.
• ❌ E) 40 cadeiras — Surge de erro aritmético ao calcular -b/(2a) e somar arbitrariamente 10 unidades ao resultado.

Dica de resolução: use a fórmula do vértice da parábola para encontrar o valor de x que maximiza o lucro. Conceito central: função quadrática, máximo lucro. Para revisão: estudo de funções quadráticas e cálculo do vértice. Código BNCC: EM13MAT503. Nível de Bloom: Entender.

Questão 4: Barraca de sucos e o número ideal de copos

No fim da tarde, um grupo de estudantes ajudou a montar uma barraca de sucos em um evento local. Para estimar o resultado financeiro da venda de copos, eles registraram que o lucro, em reais, ao vender x dezenas de copos pode ser calculado por L(x) = -x^2 + 12x - 20. A professora explicou que, nesse tipo de expressão, o maior lucro ocorre em um ponto especial do gráfico. Como a produção era limitada, só interessava saber em que quantidade de dezenas de copos o lucro seria máximo para orientar a organização da barraca no dia seguinte.

Considere a expressão do lucro apresentada no texto-base e identifique em que quantidade de dezenas de copos o lucro atinge seu valor máximo.

• ❌ A) Em 12 dezenas de copos. — Esse valor repete o coeficiente linear, mas não indica o ponto de máximo da função quadrática.
• ❌ B) Em -6 dezenas de copos. — O sinal negativo foi mantido indevidamente; a fórmula do vértice exige inverter o sinal de b.
• ✅ C) Em 6 dezenas de copos. — O vértice da parábola ocorre em x = -b/(2a) = -12/(2.-1) = 6, e como a concavidade é para baixo, esse é o máximo.
• ❌ D) Em 3 dezenas de copos. — Esse erro costuma vir de dividir 6 por 2, mas o vértice não se obtém assim.
• ❌ E) Em 20 dezenas de copos. — Esse número vem do termo constante, que representa o valor inicial, não o ponto de máximo.

Dica de resolução: calcule o vértice da parábola para encontrar o lucro máximo. Conceito central: função quadrática lucro máximo. Para revisão: estude como encontrar o vértice de uma função quadrática. Código BNCC: EM13MAT503. Nível de Bloom: Entender.

Questão 5: Reajuste do ingresso no cinema de bairro

No fim da temporada, um cinema de bairro decidiu testar um novo valor para o ingresso. A direção observou que, se o preço fosse aumentado em x reais em relação aos 20 reais atuais, o lucro diário seria dado por L(x) = -x^2 + 10x + 75, em reais. O estudo foi feito para valores de x entre 0 e 10, intervalo em que a procura se mantinha viável. Após analisar os resultados, a administração queria adotar o reajuste que produzisse o maior lucro possível, sem ultrapassar esse intervalo.

Considere o texto-base e identifique o reajuste, em reais, que maximiza o lucro diário do cinema.

• ❌ A) O reajuste de 10 reais. — Erro ao usar o limite do intervalo como se fosse o máximo da função quadrática.
• ❌ B) O reajuste de 0 reais. — Erro ao tomar o valor inicial como ótimo, sem analisar o ponto de máximo da função.
• ❌ C) O reajuste de 2 reais. — Erro de leitura do vértice: x=2 ainda não é o ponto de máximo da parábola.
• ❌ D) O reajuste de 75 reais. — Erro ao confundir termo independente com valor do reajuste que maximiza o lucro.
• ✅ E) O reajuste de 5 reais. — Correta. Em L(x) = -x^2 + 10x + 75, o máximo ocorre no vértice, em x = -b/(2a) = -10/(2.-1) = 5.

Dica de resolução: calcule o vértice da função quadrática para encontrar o máximo lucro. Conceito central: função quadrática, máximo lucro. Para revisão: estude funções quadráticas e cálculo de vértice para maximização. Código BNCC: EM13MAT503. Nível de Bloom: Criar.

Questão 6: Sabonetes da Lua e a quantidade que maximiza o lucro

A fabricante artesanal "Sabonetes da Lua" monitora o lucro de sua produção diária de sabonetes. Dados ilustrativos: o lucro L(x), em reais, em função da quantidade x de sabonetes vendidos, é modelado pela função quadrática L(x)= -0.2x^2 + 40x - 300. A empreendedora deseja determinar a quantidade de unidades que maximiza seu lucro.

Analise o texto e determine quantos sabonetes devem ser vendidos para maximizar o lucro.

• ❌ A) 200 — Erro ao usar -b/a em vez de -b/(2a), dobra o valor correto.
• ❌ B) 60 — Adoção incorreta da média aritmética entre as raízes para determinar o vértice.
• ❌ C) 192 — Calculou-se erroneamente o segundo zero da parábola em vez do vértice.
• ❌ D) 8 — Confunde-se o valor da raiz da função (zeros) com o vértice.
• ✅ E) 100 — O máximo ocorre em x = -b/(2a) = -40/(2·-0.2) = 100 unidades.

Dica de resolução: use a fórmula do vértice para funções quadráticas para encontrar o valor de x que maximiza o lucro. Conceito central: função quadrática, máximo lucro. Para revisão: estude funções quadráticas e cálculo do vértice para maximização. Código BNCC: EM13MAT503. Nível de Bloom: Aplicar.

Como usar essas questões na sua aula?

Eu costumo projetar a questão, pedir que os alunos calculem sozinhos por dois minutos e só depois mostrar o gabarito comentado. Os distratores errados viram a melhor parte da discussão, porque revelam exatamente o erro de sinal ou de fórmula que cada aluno cometeu. Você pode fazer o mesmo com as listas que gerar no GeraProva, ajustando o contexto para a realidade da sua turma.

Vale a pena gerar essas listas com IA?

Sim, principalmente quando você precisa de várias variações do mesmo tema para não copiar de um aluno para outro. Com o GeraProva você escolhe a série, o conteúdo e a quantidade de questões, e recebe alternativas, gabarito e justificativa prontos para revisar. Isso economiza horas de elaboração que eu gastava todo domingo.

Como começar hoje?

Se você quer experimentar, faça seu cadastro grátis e gere sua primeira lista de funções quadráticas. Revise o que a ferramenta entregar, ajuste o que for preciso e leve para a sala.

Este conteúdo foi pensado para apoiar seu planejamento, mas a decisão pedagógica é sempre sua. Teste o GeraProva com uma turma de verdade, compare com o que você já usa e veja se ele realmente economiza seu tempo. Se gostar, a gente fica feliz em ajudar.