Duas figuras com o mesmo perímetro e áreas diferentes

Lembro bem da primeira vez que trouxe esse tema para a sala. Pedi que os alunos desenhassem retângulos com exatamente o mesmo perímetro e depois calculassem a área de cada um. Foi ali que vi aquele silêncio de descoberta: todos esperavam que medidas iguais no contorno levassem a áreas iguais, e a conta mostrou o contrário.

Desde então, esse é um dos meus conteúdos favoritos para fazer investigação em grupo. Nesta página, compartilho como eu conduzo essa atividade, quais exemplos funcionam melhor e um conjunto de questões que monto a partir da base de questões do GeraProva, plataforma que uso para gerar provas com gabarito comentado em poucos minutos.

Duas figuras com mesmo perímetro podem ter áreas diferentes?

Sim. O perímetro mede o contorno de uma figura, enquanto a área mede a superfície interna. Quando duas figuras têm o mesmo perímetro, a forma pode mudar a distribuição dos lados e, com isso, alterar o espaço interno. Um exemplo clássico: uma cerca de 20 metros pode formar um retângulo de 3 m por 7 m, com área de 21 m², ou um quadrado de 5 m por 5 m, com área de 25 m². Ambos gastam os mesmos 20 metros de cerca, mas delimitam áreas diferentes. Essa é a ideia central que o aluno precisa investigar e comprovar com cálculos próprios.

Como mostrar essa ideia aos alunos na prática?

Eu costumo seguir um passo a passo simples que funciona bem para o 5º ano e também para revisões no 6º ano:

• Passo 1: entregue barbantes ou tiras de papel com 20 cm de comprimento.
• Passo 2: peça que formem diferentes retângulos com números inteiros de centímetros.
• Passo 3: anotem o perímetro (que será sempre 20 cm) e calculem a área de cada um.
• Passo 4: comparem os resultados e tirem a conclusão em voz alta.

Quando os alunos chegam sozinhos à constatação de que o quadrado tem a maior área, a aprendizagem fica muito mais sólida do que quando eu apenas escrevo a regra no quadro.

Retângulos com mesma área podem ter perímetros diferentes?

Sim, e essa é a outra face da investigação. Se você fixar uma área de 16 m², pode montar um canteiro de 2 m por 8 m (perímetro de 20 m) ou um de 4 m por 4 m (perímetro de 16 m). A mesma superfície interna pode exigir mais ou menos cerca, dependendo da forma. Eu costumo pedir que os alunos registrem os dois casos lado a lado, porque o contraste ajuda a fixar a ideia de que perímetro e área são grandezas independentes.

Um erro comum que vejo na sala

Muitos alunos acreditam que, se o perímetro é igual, a área também precisa ser. Quando isso aparece, eu peço que desenhem as duas figuras e calculem, sem pressa. A evidência visual costuma resolver a dúvida em poucos minutos.

Quantas questões usar numa avaliação sobre esse tema?

Na minha experiência, quatro a seis questões bem escolhidas são suficientes para avaliar se o aluno compreendeu a relação entre perímetro e área. Misture questões de cálculo direto com questões de conclusão, que exigem comparar pares de figuras. O cadastro grátis no GeraProva ajuda a montar essa mistura sem precisar redigir cada item do zero, e você ainda recebe o gabarito comentado pronto para conferir.

Questões prontas com gabarito comentado

A seguir estão seis questões reais da base do GeraProva sobre o tema. Leia cada enunciado, tente resolver antes de olhar a resposta e depois confira as explicações de cada alternativa.

Questão 1: conclusão sobre perímetro e área de retângulos

Dados ilustrativos: dois vizinhos planejam cercar hortas retangulares com 20 metros de cerca. O primeiro escolhe dimensões de 3 m por 7 m, e o segundo, de 5 m por 5 m. Observam que, embora o perímetro seja igual, as áreas resultam em 21 m2 e 25 m2. Em seguida, decidem fazer duas hortas com área de 16 m2 cada: uma com 2 m por 8 m e outra com 4 m por 4 m. Com isso, notam que, apesar da área ser igual, os perímetros são 20 m e 16 m.

Conclua, com base no texto, se retângulos com mesmo perímetro têm sempre a mesma área e se retângulos com mesma área têm sempre o mesmo perímetro.

• ✅ A) Retângulos com mesmo perímetro podem ter áreas diferentes, mas retângulos com mesma área podem ter perímetros diferentes. — Corresponde ao texto: 20 m de perímetro gerou 21 e 25 m2, e 16 m2 de área gerou perímetros de 20 e 16 m.
• ❌ B) Retângulos com mesmo perímetro sempre têm áreas diferentes e retângulos com mesma área sempre têm o mesmo perímetro. — Texto mostra mesma área (16 m2) mas perímetros distintos (20 e 16 m), contra essa afirmação.
• ❌ C) Retângulos com mesmo perímetro podem ter áreas iguais e retângulos com mesma área podem ter perímetros iguais. — Texto não apresenta casos de mesmo perímetro com áreas iguais nem de mesma área com perímetros iguais.
• ❌ D) Retângulos com mesmo perímetro podem ter a mesma área, mas retângulos com mesma área nunca têm o mesmo perímetro. — Texto mostra mesmo perímetro gerando áreas diferentes, e mesma área gerando perímetros diferentes, não esta assertiva.
• ❌ E) Retângulos com mesmo perímetro sempre têm a mesma área e retângulos com mesma área sempre têm o mesmo perímetro. — Texto mostra perímetro igual (20 m) mas áreas (21 e 25 m2) diferentes, refutando essa afirmação.

Dica de resolução: compare perímetros e áreas dos retângulos para concluir as relações. Conceito central: perímetro e área de retângulos. Conceito para revisão: estude cálculo de perímetro e área de retângulos e suas relações. BNCC: EF05MA20. Nível de Bloom: Criar.

Questão 2: relação entre perímetro e área no canteiro

Pergunta retórica: por que dois terrenos com a mesma quantidade de cerca podem ter áreas diferentes? Imagine dois vizinhos que recebem o mesmo material de cerca de 20 metros para delimitar seus lotes. O primeiro faz um canteiro retangular de 6 m por 4 m. O segundo utiliza toda a cerca para montar um canteiro quadrado, com cada lado medindo 5 m. Ambos gastam 20 m de cerca, mas os espaços internos ficam diferentes.

Compare as áreas dos dois terrenos descritos e conclua o que essa comparação demonstra sobre figuras de mesmo perímetro.

• ❌ A) Figuras com mesmo perímetro têm sempre a mesma área. — Erra ao supor que perímetro igual garante área igual, mas áreas são 24 m2 e 25 m2.
• ❌ B) Figuras com mesma área podem ter perímetros diferentes. — A afirmação é verdadeira, mas o texto compara perímetros iguais, não áreas iguais.
• ❌ C) Figuras com perímetros diferentes podem ter áreas iguais. — Investe a relação analisada: o texto trata de perímetros iguais, não diferentes.
• ❌ D) Figuras com mesma área têm sempre o mesmo perímetro. — Confunde área com perímetro: não se provou que área igual implique perímetro igual.
• ✅ E) Figuras com mesmo perímetro podem ter áreas diferentes. — Ambos os cercados têm perímetro de 20 m, mas áreas de 24 m2 e 25 m2, mostrando áreas diferentes.

Dica de resolução: calcule as áreas e compare para entender a relação entre perímetro e área. Conceito central: relações perímetro e área. Conceito para revisão: estude como perímetro e área se relacionam em figuras geométricas. BNCC: EF05MA20. Nível de Bloom: Aplicar.

Questão 3: qual figura tem maior área com 40 metros de arame

Por que cercas de mesmo comprimento podem delimitar áreas diferentes? Imagine que uma comunidade decide cercar hortas com 40 metros de arame. No primeiro terreno (Figura I), o arame forma um quadrado de 10 m de lado. No segundo (Figura II), o arame cerca um retângulo de 14 m de comprimento por 6 m de largura. Embora ambos os contornos tenham perímetro de 40 metros, as áreas resultantes são distintas: 100 m2 no quadrado e 84 m2 no retângulo.

Analise o texto e identifique qual figura possui maior área e por que, mesmo tendo perímetros iguais, as áreas diferem.

• ✅ A) O quadrado tem área maior: 10×10 dá 100; 14×6 dá 84. — A área do quadrado é 100 m², pois 10×10=100. A do retângulo é 84 m², pois 14×6=84. Por isso, o quadrado tem área maior, embora os perímetros sejam iguais.
• ❌ B) Não é possível comparar as áreas sem conhecer o formato de cada terreno. — Conclui que não dá para comparar, embora o texto informe os formatos e as medidas dos lados.
• ❌ C) As duas áreas são iguais, pois têm mesmo perímetro. — Confunde perímetro igual com área igual. Os resultados das áreas são 100 m² e 84 m².
• ❌ D) A área do retângulo de 14 m por 6 m é maior que a do retângulo de 10 m por 10 m. — Inverte a comparação: 14×6=84 e 10×10=100, então o retângulo não tem a maior área.
• ❌ E) A área de cada figura depende apenas do comprimento do maior lado. — Usa apenas o lado maior e desconsidera o outro lado, necessário para calcular a área.

Dica de resolução: compare as áreas calculando comprimento vezes largura para cada figura. Conceito central: área e perímetro de figuras. Conceito para revisão: revise como calcular a área de quadrados e retângulos e diferencie área de perímetro. BNCC: EF05MA20. Nível de Bloom: Compreender.

Questão 4: pares de figuras com perímetro ou área iguais

— Professor, temos 24 metros de cerca para cercar um canteiro escolar. Podemos usar diferentes formatos? — perguntou Ana. — Sim — respondeu o professor — Se fizermos um quadrado de lado 6 m (figura A), o perímetro será 24 m e a área 36 m². Se fizermos um retângulo de 3 m por 9 m (figura B), o perímetro também será 24 m, mas a área será 27 m². Agora, se fizermos um retângulo de 4 m por 9 m (figura C), a área será 36 m² e o perímetro 26 m.

Considere as figuras A, B e C descritas no texto-base. Identifique qual par de figuras exemplifica perímetros iguais com áreas diferentes e qual par exemplifica áreas iguais com perímetros diferentes.

• ✅ A) Figuras A e B têm o mesmo perímetro e áreas diferentes; figuras A e C têm a mesma área e perímetros diferentes — A e B têm perímetro 24 m mas áreas 36 e 27 m²; A e C têm área 36 m² mas perímetros 24 e 26 m.
• ❌ B) Figuras B e C têm o mesmo perímetro e áreas diferentes; figuras A e C têm a mesma área e o mesmo perímetro — B e C têm perímetros 24 e 26 m, não iguais, e A e C têm perímetros diferentes.
• ❌ C) Figuras B e C têm o mesmo perímetro e a mesma área; figuras A e B têm a mesma área e perímetros diferentes — B e C têm áreas diferentes (27 e 36 m²), não a mesma área, e A e B têm perímetros iguais.
• ❌ D) Figuras A e B têm o mesmo perímetro e a mesma área; figuras B e C têm a mesma área e perímetros diferentes — A e B têm áreas diferentes (36 e 27 m²), não a mesma área.
• ❌ E) Figuras A e C têm o mesmo perímetro e áreas diferentes; figuras B e C têm a mesma área e perímetros diferentes — A e C têm perímetros diferentes (24 e 26 m), não iguais, e B e C têm áreas 27 e 36 m².

Dica de resolução: compare perímetros e áreas das figuras conforme dados do texto. Conceito central: perímetro e área de figuras. Conceito para revisão: estude cálculo de perímetro e área de quadrados e retângulos. BNCC: EF05MA20. Nível de Bloom: Criar.

Questão 5: pares de retângulos recortados por Ana

Na aula, Ana recortou quatro retângulos: 6 cm por 4 cm, 5 cm por 5 cm, 3 cm por 4 cm e 1 cm por 12 cm. Qual par tem o mesmo perímetro e áreas diferentes, e qual par tem a mesma área e perímetros diferentes?

• ✅ A) 6×4 e 5×5 têm perímetros iguais e áreas diferentes; 3×4 e 1×12 têm áreas iguais e perímetros diferentes. — O perímetro é calculado somando todos os lados. Assim, 6×4 tem perímetro 20 cm e 5×5 também tem 20 cm, mas suas áreas são 24 cm² e 25 cm². As áreas de 3×4 e 1×12 são iguais a 12 cm², mas seus perímetros são 14 cm e 26 cm.
• ❌ B) 6×4 e 1×12 têm perímetros iguais e áreas diferentes; 5×5 e 3×4 têm áreas iguais e perímetros diferentes. — O estudante pode misturar as medidas dos quatro retângulos. Os perímetros de 6×4 e 1×12 são 20 cm e 26 cm, e as áreas de 5×5 e 3×4 são 25 cm² e 12 cm².
• ❌ C) 3×4 e 1×12 têm perímetros iguais e áreas diferentes; 6×4 e 5×5 têm áreas iguais e perímetros diferentes. — O estudante pode trocar os pares de retângulos e confundir perímetro com área. Porém, 3×4 e 1×12 têm a mesma área, não o mesmo perímetro; e 6×4 e 5×5 têm o mesmo perímetro, não a mesma área.
• ❌ D) 6×4 e 3×4 têm áreas iguais e perímetros diferentes; 5×5 e 1×12 têm perímetros iguais e áreas diferentes. — O estudante pode comparar apenas uma medida de cada retângulo e fazer uma soma ou multiplicação incorreta. As áreas de 6×4 e 3×4 são 24 cm² e 12 cm², e os perímetros de 5×5 e 1×12 são 20 cm e 26 cm.
• ❌ E) 5×5 e 1×12 têm áreas iguais e perímetros diferentes; 6×4 e 3×4 têm perímetros iguais e áreas diferentes. — O estudante pode usar medidas de lados como se fossem áreas ou perímetros. As áreas de 5×5 e 1×12 são 25 cm² e 12 cm², e os perímetros de 6×4 e 3×4 são 20 cm e 14 cm.

Dica de resolução: calcule perímetros e áreas para comparar os pares de retângulos. Conceito central: perímetro e área de retângulos. Conceito para revisão: estude como calcular perímetro e área de figuras geométricas. BNCC: EF05MA20. Nível de Bloom: Avaliar.

Questão 6: figuras planas com mesma área

Pergunta retórica: por que figuras de formatos diferentes podem ter áreas idênticas? Em uma galeria virtual, apresentam-se quatro formas planas com dimensões em centímetros: um retângulo de 5 × 10; um paralelogramo de base 10 e altura 5; um triângulo de base 8 e altura 12; e um quadrado de lado 9.

Compare as áreas das figuras descritas no texto e identifique qual par de figuras planas tem exatamente a mesma área.

• ✅ A) O retângulo e o paralelogramo — Ambos têm área 5×10 = 50 cm² e base×altura = 10×5 = 50 cm².
• ❌ B) O retângulo e o quadrado — O quadrado tem área 9×9 = 81 cm², diferente dos 50 cm² do retângulo.
• ❌ C) O retângulo e o triângulo — O triângulo tem área 1/2×8×12 = 48 cm², diferente dos 50 cm² do retângulo.
• ❌ D) O paralelogramo e o quadrado — O paralelogramo tem 50 cm² e o quadrado 81 cm², áreas distintas.
• ❌ E) O triângulo e o quadrado — O triângulo tem 48 cm² e o quadrado 81 cm², áreas distintas.

Dica de resolução: calcule a área de cada figura usando a fórmula correspondente e compare os resultados. Conceito central: áreas de figuras planas. Conceito para revisão: revise as fórmulas de área do retângulo, paralelogramo, triângulo e quadrado. BNCC: EF06MA24. Nível de Bloom: Aplicar.

Vale a pena investir esse tempo na aula?

Minha resposta é sim. Uma aula de quarenta minutos com barbantes, tabelas e uma conclusão coletiva rende mais do que uma lista de fórmulas copiada do quadro. E quando você precisa avaliar depois, ter questões já organizadas com gabarito economiza horas de planejamento. Use a página inicial do GeraProva para conhecer a ferramenta e veja se ela cabe na sua rotina.

Este conteúdo é uma sugestão pedagógica: adapte as atividades ao seu grupo e à sua BNCC local. Se quiser testar a geração de provas com gabarito comentado, faça seu cadastro grátis e experimente com a sua própria turma.