Exercícios de triângulos semelhantes com gabarito comentado

Todo ano, quando chega a unidade de semelhança de triângulos, eu sei que a turma vai travar em algum ponto. Geralmente é na hora de decidir se dois triângulos são mesmo semelhantes ou se só parecem. Depois de anos ensinando o 9º ano, percebi que os exercícios de triângulos semelhantes com gabarito comentado são o que mais ajuda o aluno a sair dessa confusão, porque ele vê o erro e entende por que o erro acontece.

Nesta lista eu reuno seis questões que uso em sala, com alternativas, explicação de cada distrator e a lógica por trás de cada critério. Se quiser montar sua própria prova a partir de exemplos como esses, o GeraProva gera questões nesse formato em poucos minutos, e você pode começar com um cadastro grátis.

O que é semelhança de triângulos?

Dois triângulos são semelhantes quando têm os mesmos ângulos correspondentes iguais e os lados correspondentes proporcionais. Isso significa que um deles pode ser uma versão ampliada ou reduzida do outro, mantendo exatamente a mesma forma. Na prática, o GeraProva trabalha essa ideia em questões que pedem ao aluno identificar a condição mínima necessária, e não apenas calcular. A diferença entre semelhança e congruência é o ponto que mais gera dúvida: na congruência, os triângulos têm a mesma forma e o mesmo tamanho; na semelhança, apenas a forma é igual.

Na minha experiência, o aluno entende melhor quando você mostra um mesmo triângulo desenhado em duas escalas diferentes e pergunta o que mudou. Ele percebe rápido que os ângulos ficaram iguais e os lados cresceram na mesma proporção.

Quais são os critérios de semelhança de triângulos?

Os três critérios principais são AA (dois ângulos correspondentes iguais), LAL (dois lados correspondentes proporcionais com o ângulo compreendido igual) e LLL (os três pares de lados correspondentes proporcionais). Basta uma dessas condições para concluir a semelhança, e é aí que mora a armadilha: um único ângulo igual não basta, e igualdade de diferenças em centímetros também não. Quando comparo as respostas dos alunos, quase todo erro vem de confundir igualdade com proporcionalidade.

Um bom exercício é pedir que o aluno classifique afirmações como verdadeiras ou falsas, justificando com o critério. Ele aprende a procurar o que está faltando.

Passo a passo para aplicar um critério

• Identifique os vértices correspondentes (P com P', Q com Q', e assim por diante).
• Verifique se há dois ângulos iguais, ou se os lados são proporcionais com o ângulo entre eles igual.
• Calcule as razões dos lados correspondentes e compare. Não compare diferenças.
• Conclua citando o critério pelo nome.

Como avaliar semelhança de triângulos na prática?

Eu costumo dividir a avaliação em três tipos de questão: identificação do critério, cálculo da razão de semelhança e problemas contextualizados. Em uma prova de 10 questões, reservo cerca de quatro para identificação, três para cálculo e três para problemas. Isso dá ao professor uma visão clara de onde está cada aluno. O GeraProva ajuda justamente a montar esse equilíbrio, já que cada questão vem com nível de dificuldade, nível de Bloom e código da BNCC.

Uma dica que funciona: peça ao aluno que justifique a resposta mesmo nas questões de múltipla escolha. Você descobre se ele acertou por sorte ou por raciocínio.

Quantas questões de semelhança usar em uma prova?

Para uma avaliação de 45 minutos, entre seis e oito questões costumam ser suficientes para cobrir os três critérios e a aplicação em problemas. Mais do que isso tende a cansar e a medir mais a paciência do aluno do que o domínio do conteúdo. Eu prefiro menos questões bem elaboradas, com distratores que representem erros reais, como trocar congruência por semelhança ou usar lados não correspondentes.

Questões prontas com gabarito comentado

A seguir, as seis questões que uso como referência. Cada uma traz a explicação do gabarito e de cada alternativa errada.

Questão 1: condição para semelhança com um ângulo igual

Dois triângulos têm apenas um par de ângulos iguais, ambos medindo 50°.

— Com essa informação, é possível afirmar que os triângulos são semelhantes?

• ❌ A) Sim, porque triângulos com um ângulo igual sempre têm os demais ângulos proporcionais entre si. — O aluno confunde semelhança com proporcionalidade de medidas angulares. Em triângulos, ângulos não são proporcionais por esse critério; o que vale é igualdade de ângulos correspondentes.
• ❌ B) Não, porque para afirmar semelhança os três ângulos de cada triângulo precisam ser iguais. — O aluno troca o critério de semelhança pelo de congruência total. Não é necessário que os três ângulos sejam iguais; dois ângulos correspondentes iguais já bastam.
• ❌ C) Sim, porque um ângulo de 50° em cada triângulo indica que eles têm a mesma forma e o mesmo tamanho. — O aluno troca consequência por causa: um ângulo isolado não determina nem a mesma forma nem o mesmo tamanho.
• ❌ D) Sim, pois ter um ângulo de 50° em cada triângulo já é suficiente para concluir que eles são semelhantes. — O aluno generaliza indevidamente: confunde uma coincidência parcial com o critério de semelhança, que exige pelo menos dois ângulos correspondentes iguais ou outra condição equivalente.
• ✅ E) Não é possível afirmar que sejam semelhantes, pois um único ângulo igual não garante semelhança entre triângulos. — Resposta correta. O aluno reconhece que a semelhança exige mais informações, como dois ângulos iguais ou lados proporcionais com ângulos compatíveis.

Dica de resolução: lembre do critério: dois ângulos iguais ou lados proporcionais com ângulos compatíveis. Conceito central: critérios de semelhança. Conceito para revisão: semelhança de triângulos.

Questão 2: identificando a checagem que garante semelhança

Na bancada de uma oficina de comunicação visual, um adesivo triangular será cortado em dois tamanhos: o molde PQR e a versão ampliada P'Q'R'. Os pontos P e Q (e P' e Q') indicam os cantos onde o adesivo deve se alinhar em um vidro, por isso a correspondência entre os vértices é fixa. Para conferir se o desenho ampliado mantém a mesma forma do molde, foram registradas as seguintes checagens: (1) angulo P = 48 graus e angulo Q = 67 graus no molde e na ampliação; (2) PQ = 30 cm, PR = 45 cm no molde e P'Q' = 40 cm, P'R' = 60 cm na ampliação, com angulo Q = angulo Q'; (3) PQ = 30 cm, QR = 28 cm, PR = 45 cm no molde e P'Q' = 40 cm, Q'R' = 38 cm, P'R' = 60 cm na ampliação; (4) apenas angulo P = angulo P'; (5) apenas P'Q' - PQ = 10 cm e P'R' - PR = 15 cm. Identifique aquela que apresenta condição suficiente para concluir que os triângulos PQR e P'Q'R' são semelhantes.

• ❌ A) A checagem que confirma apenas um ângulo correspondente igual (48 graus). — Um único ângulo igual não é condição suficiente: muitos triângulos distintos podem ter esse mesmo ângulo.
• ❌ B) A checagem que compara três lados e encontra uma razão diferente das demais (28/38). — Se uma razão de lados correspondentes difere, não há proporcionalidade dos três lados, logo não se conclui semelhança.
• ✅ C) A checagem que iguala dois ângulos correspondentes (48 graus e 67 graus). — Dois ângulos correspondentes iguais (AA) determinam a semelhança entre triângulos, com a correspondência P↔P' e Q↔Q'.
• ❌ D) A checagem que compara diferenças de lados (10 cm e 15 cm) em vez de razões. — Erro aditivo: semelhança exige proporcionalidade (razões), não igualdade de aumentos em centímetros.
• ❌ E) A checagem que iguala dois lados proporcionais (30/40 e 45/60) e o ângulo em Q. — Erro SSA: o ângulo em Q não é o compreendido entre PQ e PR, então essa combinação não garante semelhança.

Dica de resolução: analise as condições de semelhança entre triângulos, focando em ângulos e proporções. Conceito central: semelhança de triângulos. Conceito para revisão: critérios de semelhança de triângulos: ângulos iguais e lados proporcionais.

Questão 3: razão de semelhança com lados de triângulos paralelos

Duas retas paralelas são cortadas por transversais, formando dois triângulos semelhantes. No triângulo maior, um lado correspondente mede 15 m; no triângulo menor o lado correspondente mede 4,2¯ m (4,222...). Se o terceiro lado do triângulo maior mede 22 m, determine a razão de semelhança e o comprimento exato do terceiro lado do triângulo menor.

• ✅ A) Razão = 38/135; terceiro lado = 836/135 m — 4,2¯ = 38/9. Razão k = (38/9)/15 = 38/135. Terceiro lado menor = 22·k = 22·38/135 = 836/135 m.
• ❌ B) Razão = 38/90, lado = 12 m — A razão está errada e o lado não corresponde a uma relação válida entre os triângulos.
• ❌ C) Razão = 15/4, lado = 3 m — O lado correspondente está exagerado, não preserva a semelhança dos triângulos.
• ❌ D) Razão = 1/4, lado = 1,5 m — A razão está errada, não se adapta aos lados dos triângulos correspondentes.
• ❌ E) Razão = 22/4, lado = 5,4 m — A razão não reflete a proporção correta entre os triângulos semelhantes.

Dica de resolução: calcule a razão de semelhança e aplique-a ao terceiro lado. Conceito central: razão de semelhança. Conceito para revisão: propriedades de triângulos semelhantes e cálculo de razões.

Questão 4: o critério LAL em uma cobertura histórica

Técnicos restauram a cobertura triangular de um quiosque histórico e precisam verificar se uma peça nova manterá o mesmo formato da peça original. Na peça original, os lados que partem do vértice X medem 6 cm e 8 cm, e o ângulo entre eles mede 50 graus. Na nova peça, os lados correspondentes que partem de X' medem 9 cm e 12 cm, e o ângulo entre eles também mede 50 graus. Os demais lados não foram medidos, pois ficarão encobertos após a instalação. Analise as medidas apresentadas e identifique a condição que permite concluir que as duas peças triangulares têm o mesmo formato, em tamanhos diferentes.

• ❌ A) A igualdade de dois lados correspondentes, sem verificar suas proporções. — Erro cognitivo: trocar proporcionalidade por igualdade de medidas. Triângulos semelhantes podem ter lados de tamanhos diferentes.
• ❌ B) A proporcionalidade de dois lados não correspondentes e a igualdade de um ângulo qualquer. — Erro cognitivo: desconsiderar a correspondência entre lados e o ângulo compreendido. As relações precisam envolver elementos correspondentes.
• ❌ C) A proporcionalidade de dois lados correspondentes, sem comparar o ângulo formado por eles. — Erro cognitivo: supor que apenas dois lados proporcionais definem o formato do triângulo. Sem o ângulo compreendido, podem existir triângulos diferentes.
• ✅ D) A proporcionalidade de dois lados correspondentes e a igualdade do ângulo formado por eles. — As razões 6/9 e 8/12 são iguais, e os ângulos compreendidos medem 50 graus. Essa condição LAL garante a semelhança.
• ❌ E) A igualdade de um lado correspondente e do ângulo formado por lados quaisquer. — Erro cognitivo: confundir um caso insuficiente com um critério de semelhança. Um lado e um ângulo não determinam necessariamente o formato.

Dica de resolução: use a propriedade de semelhança de triângulos pelo critério LAL (lado-ângulo-lado). Conceito central: semelhança de triângulos LAL. Conceito para revisão: critério de semelhança LAL para triângulos.

Questão 5: encontrando x em triângulos com lados algébricos

Um triângulo tem lados 3x, 4x e 5x. Outro tem lados 18, 24 e 30. Encontre x e mostre que os triângulos são semelhantes.

• ❌ A) x = 8; triângulos semelhantes. — O aluno dividiu 24 por 4 e usou apenas o segundo par de lados. O valor correto deve servir para os três pares.
• ❌ B) x = 10; triângulos diferentes. — O aluno pode ter somado ou misturado os números dos lados e concluído que os triângulos são diferentes sem comparar os lados correspondentes.
• ✅ C) x = 6; triângulos semelhantes. — 3x = 18, então x = 6. Assim, os lados do primeiro triângulo são 18, 24 e 30. Os lados correspondentes são iguais, portanto os triângulos são semelhantes.
• ❌ D) x = 5; triângulos semelhantes. — O aluno pode ter diminuído 30 de 25 ou usado uma conta sem verificar os três lados. Com x = 5, os lados do primeiro triângulo não são 18, 24 e 30.
• ❌ E) Não existe x; triângulos diferentes. — O aluno pode pensar que os triângulos precisam ter medidas já iguais antes de calcular x. O valor x = 6 torna os lados correspondentes iguais.

Dica de resolução: calcule o valor de x usando a proporção dos lados dos triângulos. Conceito central: semelhança de triângulos. Conceito para revisão: propriedades de triângulos semelhantes e a relação entre seus lados.

Questão 6: congruência de placas por dois lados e ângulo

— O encaixe das duas estruturas precisa ser idêntico para que a cobertura do palco não fique inclinada — explicou a técnica responsável pela montagem de uma feira cultural. Cada estrutura é formada por uma placa triangular. Na primeira placa, foram medidos dois lados de 2,4 m e 3,1 m, que se encontram em um ângulo de 58 graus. Na segunda, os lados correspondentes têm essas mesmas medidas e também formam um ângulo de 58 graus. Como as placas serão cortadas em oficinas diferentes, a técnica precisa justificar geometricamente que elas terão a mesma forma e o mesmo tamanho, sem depender da medição do terceiro lado. Identifique o critério de congruência que permite justificar que as duas placas triangulares descritas no texto-base são congruentes.

• ❌ A) O critério ALA, pois são conhecidos dois ângulos e um lado. — Erro de leitura dos dados. Há apenas um ângulo informado em cada placa, e não dois ângulos.
• ❌ B) O critério AA, pois ângulos iguais garantem o mesmo tamanho. — Erro de confundir semelhança com congruência. Dois ângulos iguais podem garantir forma semelhante, mas não o mesmo tamanho.
• ✅ C) O critério LAL, pois são conhecidos dois lados e o ângulo entre eles. — Correta. As placas têm dois lados correspondentes iguais e o ângulo compreendido entre esses lados com a mesma medida.
• ❌ D) O critério LLL, pois seriam necessárias as medidas dos três lados. — Erro de exigir dados não necessários. O critério LLL usa três lados, mas o texto fornece dois lados e o ângulo entre eles.
• ❌ E) O teorema de Pitágoras, pois todo triângulo pode ter lados calculados. — Erro de generalização. O teorema de Pitágoras se aplica exclusivamente a triângulos retângulos, condição não apresentada no texto.

Dica de resolução: observe quais dois lados e qual ângulo correspondente foram informados. Conceito central: congruência de triângulos pelo critério LAL. Conceito para revisão: revise os critérios de congruência e identifique a posição do ângulo em relação aos lados conhecidos.

Por que vale a pena testar essas questões na sua turma?

Depois de aplicar listas como essa, o ganho mais visível é o diagnóstico: em poucos minutos você descobre se a turma domina o critério ou só decorou a fórmula. Eu sempre peço que o aluno aponte o critério usado, porque é aí que aparece a confusão entre semelhança e congruência. Se você quer economizar o tempo de montar essas listas do zero, o GeraProva monta provas com esse nível de detalhe, com gabarito e dados pedagógicos prontos para uso.

Se quiser testar com as suas próprias turmas, faça um cadastro grátis e veja como fica a sua primeira prova de semelhança de triângulos. Os exemplos acima são ilustrativos e você pode ajustar cada questão ao ritmo da sua turma.