Em uma obra, uma rampa provisória tem projeção horizontal de 6 m. Para avaliar o efeito de aumentar sua…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma obra, uma rampa provisória tem projeção horizontal de 6 m. Para avaliar o efeito de aumentar sua inclinação, a equipe compara o projeto atual, com ângulo de 30° em relação ao chão, a uma proposta com ângulo de 45°. Em ambos os casos, a projeção horizontal permanece igual. Considere tan 30° = raiz quadrada de 3/3 e tan 45° = 1. Com base nesses dados, qual será a consequência da mudança de inclinação para a altura atingida pela rampa?
- A) A altura aumentará de 1,8 m para 6 m, com acréscimo de 4,2 m.
- B) A altura aumentará de 2 raiz quadrada de 3 m para 6 m, ou seja, terá um acréscimo de 6 - 2 raiz quadrada de 3 m.
- C) A altura diminuirá de 6 raiz quadrada de 3 m para 6 m, com redução de 6 raiz quadrada de 3 - 6 m.
- D) A altura permanecerá igual nos dois projetos, em 2 raiz quadrada de 3 m, sem acréscimo.
- E) A altura aumentará de 3 m para 3 raiz quadrada de 2 m, com acréscimo de 3 raiz quadrada de 2 - 3 m.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A tangente do ângulo é a razão entre a altura da rampa e sua projeção horizontal: tan(ângulo) = altura/6.
- Com 30°, a altura é 6 × (raiz quadrada de 3/3) = 2 raiz quadrada de 3 m. Com 45°, é 6 × 1 = 6 m.
- Portanto, a altura aumenta em 6 - 2 raiz quadrada de 3 m, como afirma B. A usa um valor inicial incorreto; C inverte o sentido da mudança; D afirma que a altura não muda; E usa alturas que não correspondem às tangentes dadas.
💡 Dica: Use tan(θ) = altura/projeção horizontal para cada inclinação.
Alternativa por alternativa
O aluno pode ter calculado a altura inicial como 1,8 m, sem aplicar corretamente tan 30° à projeção de 6 m. A altura final de 6 m está correta, mas o acréscimo também fica incorreto.
Por que engana: Usar o comprimento da rampa como projeção ou inverter a razão da tangente.
A tangente do ângulo é a razão entre a altura e a projeção horizontal. Assim, as alturas são 6 tan 30° = 2 raiz quadrada de 3 m e 6 tan 45° = 6 m; a diferença é 6 - 2 raiz quadrada de 3 m.
O aluno pode ter confundido a projeção horizontal com a altura inicial e considerado 6 raiz quadrada de 3 m como a altura a 30°. Além disso, conclui uma diminuição quando o aumento do ângulo eleva a altura, mantendo-se a projeção.
O aluno reconhece a altura correspondente a 30°, mas supõe que a altura permanece igual apesar da mudança do ângulo. Com a mesma projeção horizontal, a tangente maior de 45° implica uma altura maior.
O aluno atribui alturas de 3 m e 3 raiz quadrada de 2 m aos ângulos dados, mas elas não são obtidas pela relação altura = 6 × tangente do ângulo.
Raio-X da questão
Tangente de um ângulo em triângulo retângulo
fixacao
Definição de tangente como cateto oposto sobre cateto adjacente · Operações com radicais
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Usar o comprimento da rampa como projeção ou inverter a razão da tangente.
Segurança e planejamento em obras
cotidiano
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