Na montagem de uma estrutura metálica para uma exposição ao ar livre, dois cabos serão presos ao mesmo ponto…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na montagem de uma estrutura metálica para uma exposição ao ar livre, dois cabos serão presos ao mesmo ponto de um mastro, a 9 m do solo. O primeiro cabo forma um ângulo de 30 graus com o chão, e o segundo, um ângulo de 60 graus. Considere que o mastro é perpendicular ao solo. Observe o esquema, que mostra os dois triângulos retângulos formados. Qual cabo será mais comprido e qual será a diferença entre os comprimentos?
- A) Os dois cabos terão o mesmo comprimento; a diferença entre eles será de 0 m.
- B) O cabo que forma 30 graus com o chão será mais comprido; a diferença entre os comprimentos será de aproximadamente 6,8 m.
- C) O cabo que forma 60 graus com o chão será mais comprido; a diferença entre os comprimentos será de aproximadamente 10,4 m.
- D) O cabo que forma 30 graus com o chão será mais comprido; a diferença entre os comprimentos será de 18 - 6 vezes raiz quadrada de 3 m, aproximadamente 7,6 m.
- E) O cabo que forma 30 graus com o chão será mais comprido; a diferença entre os comprimentos será de 9 m.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A altura de 9 m é o cateto oposto ao ângulo com o chão, e cada cabo é a hipotenusa do triângulo retângulo.
- Para o cabo a 30 graus, sen(30°) = 9/comprimento, então seu comprimento é 18 m.
- Para o cabo a 60 graus, sen(60°) = 9/comprimento, então seu comprimento é 18/raiz de 3 = 6 vezes raiz de 3 m, aproximadamente 10,4 m.
- O cabo de 30 graus é mais comprido. A diferença é 18 - 6 vezes raiz de 3, aproximadamente 7,6 m, como indica a alternativa D.
- A alternativa A erra ao considerar os cabos iguais; B apresenta uma diferença aproximada incorreta; C inverte qual cabo é mais comprido e também dá uma diferença incorreta; E identifica o cabo mais comprido, mas calcula a diferença como 9 m, em vez de aproximadamente 7,6 m.
💡 Dica: Use seno para relacionar a altura de 9 m à hipotenusa de cada triângulo.
Alternativa por alternativa
O aluno pode supor que, por os dois cabos alcançarem o mesmo ponto do mastro, terão o mesmo comprimento. Porém, os ângulos diferentes produzem triângulos com hipotenusas de comprimentos distintos.
O aluno identifica corretamente que o cabo de 30 graus é mais comprido, mas erra ao calcular ou aproximar a diferença entre as hipotenusas: ela é cerca de 7,6 m, não 6,8 m.
Por que engana: Comparar os ângulos sem calcular os comprimentos, ou usar a razão trigonométrica em relação ao cateto errado.
O aluno pode confundir o ângulo maior com um cabo mais comprido; para a mesma altura, o cabo que forma 60 graus com o chão é menor. Além disso, a diferença indicada não corresponde aos comprimentos calculados.
Em cada triângulo, o seno do ângulo com o chão é a razão entre a altura de 9 m e o comprimento do cabo. Assim, os comprimentos são 18 m para o ângulo de 30 graus e 6 vezes raiz quadrada de 3 m para o ângulo de 60 graus. A diferença é aproximadamente 7,6 m.
O aluno conclui corretamente que o cabo de 30 graus é maior, mas calcula a diferença como 9 m, possivelmente confundindo-a com a altura do mastro. A subtração correta é 18 - 6 vezes raiz de 3, aproximadamente 7,6 m.
Raio-X da questão
Razões trigonométricas em triângulos retângulos
fixacao
Identificação da hipotenusa e dos catetos · Razões trigonométricas de ângulos notáveis
Seno de 30° e 60°
Comparar os ângulos sem calcular os comprimentos, ou usar a razão trigonométrica em relação ao cateto errado.
cotidiano
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