Uma empresa de logística precisa cadastrar um código de cinco algarismos, escrito na forma 7a35b, em que a e b…

Questão

Uma empresa de logística precisa cadastrar um código de cinco algarismos, escrito na forma 7a35b, em que a e b são algarismos de 0 a 9. Para que o sistema o aceite, o número deve ser divisível simultaneamente por 5, 9 e 11. Uma funcionária afirma: “Como o código termina em 5, basta escolher a e b para que a soma dos algarismos seja múltipla de 9; assim, o código também será divisível por 11”. Analise a afirmação da funcionária. Determine, justificando por meio dos critérios de divisibilidade e considerando todos os casos possíveis para b, se existe algum código que satisfaça as três condições. Explique também por que a justificativa apresentada não é suficiente.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A afirmação é incorreta e não existe código que satisfaça as três condições. Para ser divisível por 5, b deve ser 0 ou 5. Se b = 0, a soma dos algarismos é 15 + a; para ser múltipla de 9, a deve ser 3, pois a é um algarismo. Nesse caso, pelo critério de divisibilidade por 11, a diferença entre as somas alternadas é (7 + 3 + 0) - (3 + 5) = 2, que não é múltiplo de 11. Se b = 5, a soma é 20 + a; a única possibilidade de múltiplo de 9 é a = 7. Então, a diferença entre as somas alternadas é (7 + 3 + 5) - (7 + 5) = 3, também não múltiplo de 11. Portanto, nenhum dos casos atende simultaneamente às três condições. A soma dos algarismos permite testar a divisibilidade por 9, mas não garante a divisibilidade por 11, que exige verificar a diferença entre as somas alternadas dos algarismos.

Explicação

A divisibilidade por 5 restringe b a 0 ou 5. Aplicando então o critério de 9, obtêm-se os pares (a,b) = (3,0) e (7,5); nenhum deles passa no critério de 11. Logo, a conclusão da funcionária não decorre da soma dos algarismos.

Raio-X da questão

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