Uma equipe de manutenção analisa a estrutura triangular de um telhado. Em uma configuração inicial, a seção…

Questão

Uma equipe de manutenção analisa a estrutura triangular de um telhado. Em uma configuração inicial, a seção transversal é um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 25 m; a altura relativa à hipotenusa divide-a em segmentos de 9 m e 16 m. Para alterar a inclinação das águas do telhado, a equipe desloca o ponto em que essa altura encontra a hipotenusa, mantendo o comprimento da hipotenusa em 25 m. Na nova configuração, um dos segmentos passa a medir 12 m. Considere que, nas duas configurações, a seção continua sendo um triângulo retângulo e que a altura relativa à hipotenusa divide a hipotenusa nos segmentos indicados. Com base no esquema das duas configurações, determine a medida da nova altura relativa à hipotenusa e as medidas dos dois catetos. Em seguida, compare esses resultados com as medidas da configuração inicial e explique como o deslocamento do ponto de encontro da altura com a hipotenusa provocou essas alterações. Apresente as relações métricas utilizadas e os cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Na configuração inicial, os catetos medem 15 m e 20 m, e a altura mede 12 m, pois, para os segmentos de 9 m e 16 m, valem c² = 25 · 9, b² = 25 · 16 e h² = 9 · 16. Na nova configuração, os segmentos da hipotenusa são 12 m e 13 m. Assim, a altura mede raiz quadrada de 156 m, ou 2 raiz quadrada de 39 m; os catetos medem raiz quadrada de 300 m, ou 10 raiz quadrada de 3 m, e raiz quadrada de 325 m, ou 5 raiz quadrada de 13 m. A altura aumenta de 12 m para aproximadamente 12,49 m. O cateto associado ao segmento de 12 m mede aproximadamente 17,32 m, enquanto o associado ao segmento de 13 m mede aproximadamente 18,03 m; comparados aos valores iniciais, o cateto menor aumenta de 15 m para aproximadamente 17,32 m, e o maior diminui de 20 m para aproximadamente 18,03 m. Isso ocorre porque cada cateto ao quadrado é o produto da hipotenusa pelo segmento adjacente, e a altura ao quadrado é o produto dos dois segmentos da hipotenusa.

Explicação

Na nova configuração, os segmentos da hipotenusa somam 25 m, logo são 12 m e 13 m. Aplicando as relações métricas h² = pq, a² = cp e b² = cq, obtêm-se a altura e os catetos indicados. Na configuração inicial, os segmentos 9 m e 16 m produzem altura 12 m e catetos 15 m e 20 m. A comparação mostra as consequências do deslocamento: a altura aumenta, um cateto aumenta e o outro diminui.

Raio-X da questão

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