Uma cooperativa de logística brasileira está avaliando dois formatos de código para identificar encomendas. No…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios, realizando contagem das possibilidades, para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo da probabilidade.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa de logística brasileira está avaliando dois formatos de código para identificar encomendas. No sistema A, cada código tem duas letras, escolhidas entre cinco, com repetição permitida, seguidas de três algarismos distintos; o último algarismo deve ser par. No sistema B, cada código tem três letras distintas, escolhidas entre as mesmas cinco, seguidas de dois algarismos, com repetição permitida; o último algarismo também deve ser par. Como os códigos são identificadores, o algarismo zero pode ocupar qualquer posição. Considerando todas as combinações possíveis em cada sistema, qual comparação entre as quantidades de códigos dos sistemas A e B está correta?
- A) O sistema A permite 7.200 códigos e o sistema B permite 3.000; portanto, A oferece 2,4 vezes a quantidade de códigos de B.
- B) O sistema A permite 9.000 códigos e o sistema B permite 3.000; portanto, A oferece três vezes a quantidade de códigos de B.
- C) O sistema A permite 9.000 códigos e o sistema B permite 2.400; portanto, A oferece 3,75 vezes a quantidade de códigos de B.
- D) O sistema A permite 11.250 códigos e o sistema B permite 3.000; portanto, A oferece 3,75 vezes a quantidade de códigos de B.
- E) O sistema A permite 9.000 códigos e o sistema B permite 2.700; portanto, A oferece 10/3 vezes a quantidade de códigos de B.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Sistema A. As duas primeiras posições são letras com repetição permitida, de um conjunto de 5 letras: 5 x 5 = 25 possibilidades. Nos algarismos, a última posição precisa ser par e o zero é permitido, então há 5 escolhas (0, 2, 4, 6, 8). A primeira posição numérica tem 9 escolhas (qualquer algarismo diferente do último) e a segunda tem 8 (diferente dos dois anteriores). Logo, 5 x 9 x 8 = 360 combinações numéricas. Total do sistema A: 25 x 360 = 9000 códigos.
- Sistema B. As três letras são distintas, escolhidas entre 5: 5 x 4 x 3 = 60 possibilidades. Nos algarismos, há dois dígitos com repetição permitida: o primeiro tem 10 escolhas e o último, que deve ser par, tem 5 escolhas (0, 2, 4, 6, 8). Logo, 10 x 5 = 50 combinações numéricas. Total do sistema B: 60 x 50 = 3000 códigos.
- Comparação. 9000 / 3000 = 3, ou seja, o sistema A oferece três vezes a quantidade de códigos do sistema B.
- Conferência com o gabarito. A alternativa B, que traz 9000, 3000 e razão três, está correta, e coincide com o gabarito oficial.
- Por que as demais estão erradas. A diz 7200 para A, o que só ocorre se o zero for excluído como último algarismo par, contrariando o enunciado. C diz 2400 para B, pelo mesmo erro de excluir o zero. D diz 11250 para A, o que ocorre se a primeira posição numérica ignorar a restrição de ser diferente do último algarismo. E diz 2700 para B, o que ocorre se o primeiro dígito do sistema B for tratado como distinto do último, quando a repetição é permitida.
💡 Dica: Conte separadamente as letras e os algarismos de cada sistema e multiplique as possibilidades.
Alternativa por alternativa
O aluno excluiu o zero da lista de algarismos pares possíveis na última posição, usando apenas 2, 4, 6 e 8, e calculou 25 x 9 x 8 x 4 = 7200, embora o enunciado diga que o zero pode ocupar qualquer posição.
Por que engana: Contar o zero como proibido na posição final ou permitir repetição entre algarismos que devem ser distintos.
No sistema A, há 5 × 5 escolhas para as letras e 5 × 9 × 8 para os algarismos, totalizando 9.000. No sistema B, há 5 × 4 × 3 escolhas para as letras e 10 × 5 para os algarismos, totalizando 3.000. Assim, a quantidade do sistema A é três vezes a do sistema B.
Para o sistema B, o aluno excluiu o zero como último algarismo par, usando apenas 4 opções, e obteve 60 x 10 x 4 = 2400, desconsiderando que o zero é um identificador válido.
No sistema A, o aluno não aplicou a condição de algarismos distintos à primeira posição numérica, usando 10 opções nela, e chegou a 25 x 5 x 10 x 9 = 11250.
No sistema B, o aluno tratou a repetição permitida dos dois algarismos como se fossem distintos, usando 9 opções para o primeiro, e obteve 60 x 9 x 5 = 2700.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo e contagem de códigos.
Calcular e comparar
Princípio multiplicativo da contagem. · Contagem de escolhas com e sem repetição.
Arranjos com e sem repetição e restrição de paridade.
Contar o zero como proibido na posição final ou permitir repetição entre algarismos que devem ser distintos.
Tecnologia e logística.
Identificação de enc
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