MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT402Difícil⏱ 2 a 3 minu

A figura representa um quadrado ABCD de lado 12 cm, com os vértices em ordem ao redor do contorno. O ponto P…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT402

Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

A figura representa um quadrado ABCD de lado 12 cm, com os vértices em ordem ao redor do contorno. O ponto P percorre o lado AB e o ponto Q percorre o lado BC, mantendo-se AP = BQ = x, com 0 <= x <= 12. O gráfico da área do triângulo DPQ em função de x é uma parábola voltada para cima, com vértice em (6, 54), e cruza a reta horizontal correspondente a 60 cm² em dois pontos do intervalo permitido. Para quais valores de x a área do triângulo DPQ é, no máximo, 60 cm²?

A) Entre 2 cm e 10 cm, inclusive.
B) Entre 6 - 2 raiz quadrada de 2 cm e 6 + 2 raiz quadrada de 2 cm, inclusive.
C) x <= 6 - 2 raiz quadrada de 3 cm ou x >= 6 + 2 raiz quadrada de 3 cm.
D) Entre 6 - 2 raiz quadrada de 3 cm e 6 + 2 raiz quadrada de 3 cm, sem incluir os extremos.
E) Entre 6 - 2 raiz quadrada de 3 cm e 6 + 2 raiz quadrada de 3 cm, inclusive.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

Coloque o quadrado em um plano: A(0,0), B(12,0), C(12,12) e D(0,12). Como AP = x, o ponto P é (x,0). Como BQ = x, o ponto Q é (12,x). Passo 2: A área do triângulo DPQ pode ser obtida pelo produto vetorial dos vetores DP = (x,-12) e DQ = (12,x-12). O determinante vale x(x-12) + 144 = x^2 - 12x + 144, então a área é (x^2 - 12x + 144)/2. Passo 3: Confira com o enunciado: em x = 6, a área é (36 - 72 + 144)/2 = 54, que é o vértice (6, 54) informado. Em x = 0, a área é 72, que corresponde ao triângulo DAB, o que também faz sentido. Passo 4: Impor área menor ou igual a 60 leva a (x^2 - 12x + 144)/2 <= 60, ou seja, x^2 - 12x + 24 <= 0. Passo 5: As raízes de x^2 - 12x + 24 = 0 são x = (12 ± raiz de 48)/2 = 6 ± 2 raiz de 3, aproximadamente 2,54 e 9,46, ambas dentro do intervalo [0, 12]. Como a parábola tem concavidade para cima, a expressão fica menor ou igual a zero entre as raízes, com os extremos incluídos porque a condição é 'no máximo'. Passo 6: Portanto, a resposta é o intervalo fechado entre 6 - 2 raiz de 3 e 6 + 2 raiz de 3, que é a alternativa E. O gabarito oficial está correto. Passo 7: Por que as outras estão erradas: A usa valores 2 e 10, que não são as raízes (em x = 2 a área é 62, acima de 60); B troca raiz de 48 por 2 raiz de 2; C inverte a desigualdade, descrevendo a região em que a área é maior ou igual a 60; D exclui os extremos, mas 'no máximo' inclui a igualdade.

💡 Dica: Use o vértice para escrever a função e resolva f(x) <= 60, respeitando 0 <= x <= 12.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

Estimou as raízes por valores inteiros próximos, sem resolver a inequação. Não percebeu que em x = 2 a área vale 62, acima do limite de 60.

B Erradaerro: Procedimental

Simplificou mal a raiz de 48 como 2 raiz de 2 (o correto é 4 raiz de 3) ao aplicar a fórmula de Bhaskara, e obteve raízes 6 ± 2 raiz de 2.

C Erradaerro: Conceitual

Inverteu o sentido da desigualdade e escolheu a região externa às raízes, onde a área é maior ou igual a 60. Não percebeu que a parábola voltada para cima fica abaixo de 60 entre as raízes.

D Erradaerro: Interpretaçãoa que mais engana

Calculou as raízes corretamente, mas excluiu os extremos. Não atentou para a expressão 'no máximo', que inclui o caso de área igual a 60.

Por que engana: Escolher os valores externos às raízes, confundindo a região abaixo da parábola com a região acima.

E Correta

A área do triângulo é metade da área do quadrado menos as áreas dos triângulos retângulos externos: A(x) = (x² - 12x + 144)/2. A condição A(x) <= 60 equivale a x² - 12x + 24 <= 0, cujas raízes são 6 - 2 raiz quadrada de 3 e 6 + 2 raiz quadrada de 3. Como a parábola é voltada para cima, a área não ultrapassa 60 cm² entre as raízes, inclusive.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom analisar

Leitura Baixo

Discriminação Médio

Peso pedagógico Médio

Autonomia do enunciado Autônomo; fornece as

Cobertura da habilidade Interpreta

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ Problema geométrico 🧩 Verificar leitura de

🎯 Conceito central

Inequação quadrática interpretada pela parábola.

📌 Objetivo

Relacionar área vari

🧱 Pré-requisitos

Resolução de equações do segundo grau. · Interpretação do vértice e da concavidade de uma parábola.

📚 Reveja

Forma de vértice e intervalos de solução de parábolas.

⚠️ Erro mais comum

Escolher os valores externos às raízes, confundindo a região abaixo da parábola com a região acima.

🏫 Contexto

Geometria plana com

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