Na fabricação de uma moldura, a expressão P(x)=x²+6x+9 representa o custo em reais. Observe o gráfico. De…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na fabricação de uma moldura, a expressão P(x)=x²+6x+9 representa o custo em reais. Observe o gráfico. De acordo com o gráfico, qual é a forma fatorada de P(x)?
- A) (x+1)²
- B) (x+3)(x-3)
- C) (x+9)(x+1)
- D) (x+3)²
- E) x²+9
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique a forma da expressão. P(x) = x² + 6x + 9 é um trinômio do quadrado perfeito, do tipo a² + 2ab + b², com a = x e b = 3, pois o termo do meio 6x é igual a 2·x·3 e o último termo 9 é igual a 3². Passo 2: Escreva a fatoração como o quadrado de uma soma: x² + 6x + 9 = (x + 3)². Passo 3: Confira pela multiplicação. (x + 3)(x + 3) = x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9, o que confirma a identidade. Passo 4: Relacione com o gráfico. O gráfico da função mostra a curva que corresponde a essa expressão, e a forma fatorada obtida, (x + 3)², indica a raiz dupla x = -3, que é o ponto em que a parábola toca o eixo x. Esse é o resultado que o gráfico confirma, por isso a alternativa correta é a D. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A) (x + 1)² resulta em x² + 2x + 1, que tem o termo do meio e o termo independente diferentes da expressão dada. B) (x + 3)(x - 3) resulta em x² - 9, um produto da soma pela diferença, cujo termo do meio é nulo. C) (x + 9)(x + 1) resulta em x² + 10x + 9, com soma dos fatores igual a 10 em vez de 6. E) x² + 9 não é fatoração, pois só elimina o termo 6x e não é produto equivalente à expressão original.
💡 Dica: Analise o gráfico para identificar as raízes e fatorar a expressão.
Alternativa por alternativa
O aluno escolhe números cuja soma ou produto não correspondem aos coeficientes, tomando 1 como raiz e ignorando que o termo do meio 6x exige soma 6 e produto 9. Confunde a estrutura do quadrado perfeito com um quadrado de binômio qualquer.
O aluno reconhece x² + 6x + 9 como uma diferença de quadrados e aplica a regra a² - b², trocando o sinal do termo do meio e o sinal do termo independente. Não percebe que a expressão tem todos os termos positivos.
O aluno procura dois números com produto 9, mas não verifica a soma: escolhe 9 e 1, cuja soma é 10, em vez de 6. Não confere a fatoração por multiplicação.
É um quadrado perfeito com raiz dupla em -3.
O aluno acredita que o termo 6x pode ser descartado e que x² + 9 é a forma simplificada da expressão. Não entende que fatorar exige escrever a expressão como produto equivalente, mantendo todos os termos.
Raio-X da questão
fatoração de polinômios quadráticos
diagnostico
expressões algébricas · equações quadráticas
Estude fatoração e identificação de raízes de polinômios.
Confundir a forma fatorada com a forma expandida ou não identificar corretamente as raízes pelo gráfico.
pensamento_critico
abstrato
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