— Nos dias mais quentes, as torneiras parecem ficar mais tempo abertas — comentou a síndica de um condomínio…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar conjuntos de dados relativos ao comportamento de duas variáveis numéricas, usando ou não tecnologias da informação, e, quando apropriado, levar em conta a variação e utilizar uma reta para descrever a relação observada.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Nos dias mais quentes, as torneiras parecem ficar mais tempo abertas — comentou a síndica de um condomínio, ao organizar as contas do mês. Para verificar se a percepção fazia sentido, ela anotou (em valores fictícios, apenas para ilustração) a temperatura média diária T (em graus Celsius) e o consumo total de água C (em m^3) em uma mesma semana. Registros: (T;C) (18;12,5), (20;13,3), (22;14,0), (24;15,0), (26;15,7), (28;16,6), (30;17,3). Para estimar custos de forma rápida, ela decidiu usar um modelo linear, isto é, uma função afim C(T)=aT+b que acompanhe a tendência geral dos dados, sem exigir que todos os pontos fiquem exatamente sobre a reta. Analise os registros e identifique a função afim que melhor representa a tendência do consumo de água C em função da temperatura média T.
- A) C(T)=0,42T+3,9
- B) C(T)=0,50T+2,4
- C) C(T)=0,30T+7,0
- D) C(T)=0,35T+6,1
- E) C(T)=0,42T+4,9
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Calcule a média de T: (18+20+22+24+26+28+30)/7 = 24. A média de C é 104,4/7, aproximadamente 14,91. Passo 2: Pelo método dos mínimos quadrados, o coeficiente angular é a = soma((T-24)(C-14,91))/soma((T-24)^2). Os desvios de T são -6, -4, -2, 0, 2, 4 e 6, cuja soma dos quadrados é 112. A soma dos produtos dos desvios de T pelos valores de C é 45,4. Logo a = 45,4/112, aproximadamente 0,405. Passo 3: O intercepto é b = 14,91 - 0,405 x 24, aproximadamente 5,19. A reta de melhor ajuste seria C = 0,405T + 5,19. Passo 4: Entre as alternativas, a mais próxima dessa reta é a E, com a = 0,42 e b = 4,9. Para verificar, em T = 24 a reta E dá C = 14,98, muito próximo da média 14,91. A soma dos quadrados dos erros da E fica em torno de 0,08, enquanto a da D fica em torno de 1,57, a da B em torno de 2,88, a da C em torno de 4,84 e a da A é ainda maior. Passo 5: As alternativas erradas não representam bem a tendência: A tem inclinação e intercepto pouco compatíveis com os dados; B tem inclinação alta demais; C tem inclinação baixa demais; D tem intercepto e inclinação que superestimam os valores de temperatura mais altos. O gabarito oficial E está correto.
💡 Dica: Analise os pontos e calcule a função afim que melhor se ajusta.
Alternativa por alternativa
O aluno ajusta a inclinação de forma aproximada, mas calcula o intercepto de modo incorreto, sem usar a média de C e de T, o que deixa a reta deslocada para cima nos pontos da amostra.
Por que engana: Escolher coeficientes que não representam a tendência dos dados por erro no cálculo da inclinação ou intercepto.
O aluno estima a inclinação com base em poucos pontos ou em uma razão simplificada, obtendo 0,50 e superestimando a taxa de variação do consumo em relação à temperatura.
O aluno acredita que o consumo cresce pouco com a temperatura e escolhe uma inclinação baixa, sem considerar a tendência geral dos sete registros, que sobe cerca de 0,4 m^3 para cada grau.
O aluno calcula a inclinação e o intercepto com pequenas imprecisões ou arredonda de forma inadequada, obtendo 0,35 e 6,1, o que faz a reta superestimar os consumos nas temperaturas mais altas.
A variação de 18 a 30 graus aumenta cerca de 4,8 m^3; a taxa ~0,4 e o ajuste passa perto de todos os pontos.
Raio-X da questão
função afim e modelagem linear
avaliacao
função afim · coeficiente angular e linear
Estude como calcular coeficiente angular e linear de função afim.
Escolher coeficientes que não representam a tendência dos dados por erro no cálculo da inclinação ou intercepto.
pensamento_critico
cotidiano
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