Em uma investigação matemática, a turma observou um triângulo com lados 9 cm, 12 cm e 15 cm e discutiu se ele…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma investigação matemática, a turma observou um triângulo com lados 9 cm, 12 cm e 15 cm e discutiu se ele poderia ser retângulo. — Que argumento matemático confirma que esse triângulo é retângulo?
- A) Basta verificar que 9 + 12 + 15 é um valor proporcional, e isso confirma que o triângulo é retângulo.
- B) Se o maior lado tem 15 cm, então o triângulo é retângulo porque o maior lado sempre determina esse tipo de triângulo.
- C) O quadrado dos dois menores lados somado resulta no quadrado do maior lado, então a relação de Pitágoras é satisfeita.
- D) A soma dos lados menores é igual ao lado maior, então o triângulo é retângulo por atender a essa igualdade.
- E) Como os lados 9, 12 e 15 formam uma sequência crescente, qualquer triângulo com essa ordem é retângulo.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Calcule os quadrados dos lados. Os dois menores lados são 9 e 12, e 9^2 = 81 e 12^2 = 144. A soma é 81 + 144 = 225. Passo 2: Calcule o quadrado do maior lado, 15^2 = 225. Passo 3: Como a soma dos quadrados dos catetos (225) é igual ao quadrado da hipotenusa (225), vale a relação de Pitágoras. Pela recíproca do teorema de Pitágoras, um triângulo cujo maior lado satisfaz essa igualdade é retângulo, por isso a alternativa C é a correta e confirma o argumento pedido. Passo 4: A alternativa A está errada, porque a soma dos perímetros ou dos lados não é critério para retângulo, e 9 + 12 + 15 = 36 não prova nada sobre ângulos. Passo 5: A alternativa B está errada, porque o tamanho do maior lado sozinho não determina o tipo do triângulo; é preciso comparar os quadrados dos lados. Passo 6: A alternativa D está errada, porque 9 + 12 = 21 é diferente de 15, e a condição de retângulo não depende de soma dos lados. Passo 7: A alternativa E está errada, porque a ordem crescente dos lados não garante ângulo reto; por exemplo, os lados 2, 3 e 4 estão em ordem crescente e o triângulo não é retângulo. Passo 8: Conclusão: o gabarito oficial C está correto.
💡 Dica: Compare os quadrados dos dois menores lados com o maior lado.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que um padrão numérico ou uma soma proporcional dos lados basta para provar que o triângulo é retângulo, sem relacionar os lados ao teorema de Pitágoras.
O aluno acha que o maior lado, por ser grande, determina sozinho que o triângulo é retângulo, sem fazer a comparação entre os quadrados dos lados.
Por que engana: Somar os lados em vez de comparar os quadrados
Apresenta o critério correto para identificar um triângulo retângulo: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
O aluno confunde a condição de retângulo com uma igualdade entre soma de lados e lado maior, sem verificar a relação de Pitágoras; além disso, 9 + 12 = 21, que não é igual a 15.
O aluno imagina que a ordem crescente dos lados é uma propriedade que define o triângulo retângulo, quando na verdade o que importa são os comprimentos e a relação entre os quadrados.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras
Identificar triângul
Cálculo de potências ao quadrado · Identificação de lados de triângulo retângulo
Relação entre catetos e hipotenusa
Somar os lados em vez de comparar os quadrados
Persistência
Geometria plana em i
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