Em um parque, uma trilha foi marcada em linha reta entre dois pontos. O percurso forma um triângulo retângulo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um parque, uma trilha foi marcada em linha reta entre dois pontos. O percurso forma um triângulo retângulo, com hipotenusa de 25 m e um dos catetos medindo 7 m. — Qual é a medida do outro cateto desse triângulo?
- A) O outro cateto mede 30 m, pois 25^2 + 7^2 = 674 e a raiz quadrada desse valor dá o lado restante.
- B) O outro cateto mede 16 m, pois 25 - 7 = 18 e, como os lados formam uma sequência simples, basta ajustar para o valor anterior mais próximo.
- C) O outro cateto mede 24 m, pois 25^2 - 7^2 = 576 e a raiz quadrada de 576 é 24.
- D) O outro cateto mede 18 m, pois 25 - 7 = 18 e essa diferença representa o lado que falta.
- E) O outro cateto mede 25 m, pois em um triângulo retângulo a hipotenusa e um cateto costumam ter medidas próximas.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e é sempre o maior lado: a = 25 m. Um cateto mede b = 7 m, e o outro cateto, que é a incógnita, chamamos de c.
- Aplique o teorema de Pitágoras, que diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a^2 = b^2 + c^2.
- Substitua os valores: 25^2 = 7^2 + c^2, ou seja, 625 = 49 + c^2.
- Isole c^2 subtraindo 49 dos dois lados: c^2 = 625 - 49 = 576.
- Extraia a raiz quadrada: c = raiz de 576 = 24 m.
- Confira: 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2. Está correto.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A soma os quadrados em vez de subtraí-los, e a raiz de 674 nem é exatamente 30. A alternativa B usa uma sequência inventada, sem relação com o teorema. A alternativa D subtrai as medidas dos lados, ignorando os quadrados. A alternativa E parte de uma suposição sem base, pois não há regra que aproxime as medidas dos lados de um triângulo retângulo. O gabarito oficial C está correto.
💡 Dica: Calcule 25^2 menos 7^2 e extraia a raiz quadrada.
Alternativa por alternativa
O aluno lembra que Pitágoras envolve quadrados, mas usa soma em vez de subtração, como se o cateto desconhecido fosse somado à hipotenusa. Ele também não percebe que a hipotenusa é sempre o maior lado e não pode ser obtida por soma.
O aluno acredita que a relação entre os lados é uma sequência numérica simples, que pode ser ajustada por tentativa, em vez de uma relação quadrática. Ele não aplica o teorema de Pitágoras.
Resposta correta: aplica o teorema de Pitágoras de forma adequada e calcula corretamente o cateto desconhecido.
O aluno trata os lados como se fossem grandezas que se subtraem diretamente, sem elevar ao quadrado. Ele ignora que o teorema de Pitágoras relaciona áreas dos quadrados construídos sobre os lados.
Por que engana: Somar ou subtrair lados diretamente em vez de usar Pitágoras.
O aluno acredita, pelo senso comum, que os lados de um triângulo retângulo costumam ter medidas parecidas. Ele não usa nenhuma relação matemática para chegar ao valor do cateto.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras.
Aplicar Pitágoras.
Potenciação de números naturais. · Raiz quadrada exata.
Relação entre hipotenusa e catetos.
Somar ou subtrair lados diretamente em vez de usar Pitágoras.
Persistência.
Geometria plana.
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