Na banca de Dona Clara, no mercado municipal, são expostas cinco tipos de fruta: banana, morango, abacaxi…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver, com o suporte de imagem e/ou material manipulável, problemas simples de contagem, como a determinação do número de agrupamentos possíveis ao se combinar cada elemento de uma coleção com todos os elementos de outra, utilizando estratégias e formas de registro pessoais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na banca de Dona Clara, no mercado municipal, são expostas cinco tipos de fruta: banana, morango, abacaxi, manga e kiwi. Para atrair clientes, ela oferece smoothies combinando três frutas diferentes em cada receita. Um painel ao lado da bancada lista todas as combinações possíveis que podem ser preparadas, sem repetir nenhuma fruta em um mesmo smoothie. Os clientes acabam escolhendo suas receitas favoritas entre as opções apresentadas. Com base no texto, identifique o número de combinações de smoothies que usam três frutas distintas.
- A) 125
- B) 15
- C) 10
- D) 60
- E) 6
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- A questão pede quantas combinações de três frutas distintas podem ser feitas a partir de cinco frutas (banana, morango, abacaxi, manga e kiwi). Como o smoothie é definido apenas pelo conjunto de frutas, a ordem em que as frutas são escolhidas não importa.
- Isso caracteriza uma combinação simples de 5 elementos tomados 3 a 3, sem repetição: C(5,3) = 5! / (3! x 2!) = 120 / (6 x 2) = 120 / 12 = 10.
- Uma forma de conferir é listar: com banana como referência, há 6 smoothies com banana (banana com duas das outras quatro frutas, isto é, C(4,2) = 6) e 4 sem banana (escolhendo 3 das outras 4 frutas, C(4,3) = 4). Total: 6 + 4 = 10.
- Verificação das alternativas erradas. A) 125 é 5 elevado a 3, que conta escolhas com repetição e com ordem, o que não é o caso. B) 15 não corresponde a nenhuma contagem válida para trios sem repetição a partir de cinco frutas. D) 60 é o arranjo A(5,3) = 5 x 4 x 3, que considera a ordem das frutas e superestima o número de smoothies distintos. E) 6 é 3!, a quantidade de ordens possíveis de um único trio, e não o número de trios diferentes.
- Conclusão: o gabarito oficial C (10) está correto, pois há exatamente 10 combinações distintas de três frutas.
💡 Dica: Calcule as combinações de 3 frutas entre 5 sem repetição.
Alternativa por alternativa
O aluno multiplicou 5 x 5 x 5, tratando cada uma das três frutas como uma escolha independente entre as cinco, o que permite repetições e ignora que o conjunto não deve repetir frutas.
O aluno provavelmente multiplicou 5 por 3 ou usou uma contagem sem método, sem ligar o número de frutas por smoothie ao número de maneiras de escolher o conjunto.
Por que engana: Confundir permutação com combinação, contando ordens diferentes como distintas.
Usa-se C(5,3)=5!/(3!·2!)=10 combinações de frutas distintas.
O aluno calculou o arranjo A(5,3) = 5 x 4 x 3 = 60, que considera a ordem das frutas, quando a ordem não diferencia um smoothie do outro.
O aluno contou apenas as diferentes ordens (permutações) de três frutas, 3! = 6, em vez de contar quantos grupos distintos de três frutas existem entre as cinco.
Raio-X da questão
combinação, análise combinatória
avaliacao
noções básicas de combinação
Estude combinações e cálculo de subconjuntos sem repetição.
Confundir permutação com combinação, contando ordens diferentes como distintas.
tomada_decisao
cotidiano
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