Por que os tamanhos aparentes dos continentes parecem distorcidos em alguns mapas? Em estudos recentes…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que os tamanhos aparentes dos continentes parecem distorcidos em alguns mapas? Em estudos recentes, cartógrafos analisaram uma projeção cilíndrica conformal que preserva ângulos locais, mas altera áreas. Nessa projeção, a relação entre a área projetada e a real de uma região localizada na latitude f é dada por 1/cos(f). Considerando que 0 <= f <= 90 graus e que cos(f) decresce de 1 a 0, a área projetada cresce indefinidamente perto dos polos. Em uma folha, calcularam que na latitude de 45 graus a área fica ampliada em função dessa relação. Calcule a razão entre a área projetada e a área real de uma região situada a 45 graus de latitude na projeção cilíndrica descrita no texto-base.
- A) 2
- B) 0,707
- C) 1,414
- D) 1,732
- E) 1
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- A razão pedida é a relação entre a área projetada e a área real, dada pela fórmula 1/cos(f), com f = 45 graus. Passo 2: Calcule cos(45 graus). Esse é um ângulo notável e vale raiz de 2 dividido por 2, que é aproximadamente 0,707. Passo 3: Substitua na fórmula: 1/cos(45) = 1/(raiz de 2 dividido por 2) = 2/raiz de 2. Passo 4: Racionalize o denominador: 2/raiz de 2 = (2 x raiz de 2)/2 = raiz de 2, que é aproximadamente 1,414. Passo 5: Conclusão: a razão é raiz de 2, cerca de 1,414, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a alternativa A (2) corresponderia a 1/cos(60 graus), e não a 1/cos(45 graus); a alternativa B (0,707) é o valor de cos(45 graus), mas a razão pedida é o inverso desse cosseno; a alternativa D (1,732) é o valor de raiz de 3, que não aparece na conta de 45 graus; a alternativa E (1) indicaria que não há ampliação de área, o que contraria o enunciado, pois a área cresce a partir de 1 na linha do equador e a 45 graus já está ampliada.
💡 Dica: Use a fórmula 1/cos(f) para calcular a razão da área na latitude dada.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente lembrou que cos(60 graus) = 1/2 e usou esse valor no lugar de cos(45 graus), obtendo 1/(1/2) = 2.
Por que engana: Confundir a relação entre coseno e área, ou usar o valor errado do cosseno para 45 graus.
O aluno calculou corretamente cos(45 graus) = 0,707, mas esqueceu de inverter o valor e tomou o próprio cosseno como razão, sem aplicar 1/cos(f).
Para f=45 graus, cos(45)=0,707; logo 1/cos(45)=1/0,707˜1,414.
O aluno confundiu os valores notáveis de trigonometria e associou a razão a raiz de 3 (valor de tan(60 graus)), não ao inverso do cosseno de 45 graus.
O aluno interpretou que a projeção preserva áreas, talvez por associá-la à palavra conformal, e concluiu que a razão seria 1; porém o texto diz que a projeção altera áreas, e a latitude de 45 graus já amplia a área.
Raio-X da questão
projeção cartográfica e áreas
avaliacao
funções trigonométricas básicas · razão e proporção
Estude funções trigonométricas e projeções cartográficas
Confundir a relação entre coseno e área, ou usar o valor errado do cosseno para 45 graus.
tomada_decisao
cientifico
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