Agricultores contam com um rio que serve de lado natural para cercar uma pastagem. Eles dispõem de 100 metros…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Agricultores contam com um rio que serve de lado natural para cercar uma pastagem. Eles dispõem de 100 metros de cerca para os outros três lados do retângulo que terá um dos lados sobre o rio sem necessidade de cerca. Para otimizar o espaço, pretendem escolher a largura do retângulo perpendicular ao rio de forma a obter a maior área possível. Analise o texto-base e determine qual deve ser a medida, em metros, da largura perpendicular ao rio para maximizar a área da pastagem.
- A) 25 m
- B) 10 m
- C) 40 m
- D) 20 m
- E) 50 m
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Chame de x a largura perpendicular ao rio. Como a cerca cobre dois lados de largura x e o terceiro lado paralelo ao rio, que não precisa de cerca, a cerca total é 2x + L = 100, em que L é o comprimento paralelo ao rio.
- Isole L: L = 100 - 2x.
- Escreva a área: A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2.
- A área é uma função quadrática com coeficiente de x^2 negativo (-2), então seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo e o valor máximo está no vértice. A coordenada do vértice é x = -b/(2a) = -100/(2·(-2)) = 25.
- Verifique: para x = 25, L = 100 - 50 = 50 m e A = 25·50 = 1250 m^2. Para x = 20, A = 20·60 = 1200 m^2; para x = 40, A = 40·20 = 800 m^2, o que confirma que 25 m dá o máximo.
- Conclusão: a largura ótima é 25 m, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: B) 10 m dá área de 800 m^2, menor que o máximo; C) 40 m dá L = 20 e área de 800 m^2; D) 20 m dá área de 1200 m^2, abaixo de 1250; E) 50 m zera o comprimento L, resultando em área nula.
💡 Dica: Use a fórmula da área do retângulo e a restrição do perímetro para montar uma função e encontrar o máximo.
Alternativa por alternativa
Com função A(x)=x(50-x), o vértice da parábola x=-b/(2a)=50/2=25 m maximiza a área.
O aluno provavelmente acredita que uma largura pequena já maximiza a área, sem montar a função da área nem procurar o vértice da parábola. Pode ter escolhido um valor intuitivo, dividindo a cerca de forma arbitrária.
O aluno pode ter trocado a largura pelo lado paralelo ao rio, ou seja, tomado 40 m como largura porque L = 20 m parece uma medida razoável. Isso indica confusão sobre qual dimensão é a perpendicular ao rio.
O aluno montou a função corretamente, mas errou o cálculo do vértice, por exemplo ao usar um coeficiente linear errado (como -80 em vez de -100), obtendo x = 20. Assim, a área máxima é estimada de forma incorreta.
Por que engana: Confundir a fórmula do perímetro ou não aplicar corretamente a função para maximizar a área.
O aluno pode ter achado que a área cresce indefinidamente com a largura, ou que é melhor gastar toda a cerca em um único lado. Ele não percebe que, quanto maior a largura, menor sobra para o lado paralelo ao rio, e a área se anula.
Raio-X da questão
maximização de área retangular
avaliacao
função quadrática · derivada para otimização
estude funções quadráticas e otimização de áreas
Confundir a fórmula do perímetro ou não aplicar corretamente a função para maximizar a área.
pensamento_critico
cotidiano
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