O saguão do Teatro Municipal exibia filas animadas na última semana, quando o gerente de bilheteria analisou a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O saguão do Teatro Municipal exibia filas animadas na última semana, quando o gerente de bilheteria analisou a relação entre o preço do ingresso (em reais) e a quantidade média de espectadores. Observou-se que, com ingresso a R$ 0, a demanda teórica chegaria a 1000 pessoas, e a cada acréscimo de R$ 1 no preço, 50 espectadores a menos comparecem. A receita R(p) em reais é dada pelo produto do preço p pela demanda resultante. Analise o texto-base e determine o valor do preço do ingresso que maximiza a receita do teatro.
- A) 12 reais
- B) 20 reais
- C) 10 reais
- D) 5 reais
- E) 8 reais
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Modele a demanda. Com ingresso a R$ 0 a demanda é 1000 pessoas e cada R$ 1 a mais tira 50 espectadores, logo D(p) = 1000 - 50p.
- Escreva a receita. R(p) = p · D(p) = p(1000 - 50p) = 1000p - 50p^2, uma parábola com concavidade para baixo, cujo máximo está no vértice.
- Calcule o vértice. Para f(p) = ap^2 + bp + c, o vértice ocorre em p = -b/(2a). Aqui a = -50 e b = 1000, então p = -1000/(2 · (-50)) = 1000/100 = 10.
- Verifique a receita máxima. Para p = 10, D = 1000 - 500 = 500 espectadores e R = 10 · 500 = 5000 reais. Valores vizinhos dão menos: para p = 8, R = 8 · 600 = 4800; para p = 12, R = 12 · 400 = 4800.
- Conclusão. O preço que maximiza a receita é R$ 10, o que coincide com o gabarito oficial C.
- Por que as outras estão erradas: A (12 reais) dá receita de 4800 reais, menor que o máximo; B (20 reais) é o preço em que a demanda zera, então a receita é nula; D (5 reais) dá receita de 5 · 750 = 3750 reais; E (8 reais) dá receita de 4800 reais, também abaixo do máximo.
💡 Dica: Formule a função receita e encontre seu máximo usando cálculo ou análise de função quadrática.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou o cálculo do vértice, por exemplo ao dividir 1000 por um denominador errado ou trocar o sinal de b, e chegou a 12 reais.
O aluno confundiu o ponto em que a demanda se anula (1000/50 = 20) com o ponto de receita máxima; em 20 reais ninguém compra ingresso, então a receita é zero.
Por que engana: confundir a relação entre preço e demanda, ou não aplicar corretamente a fórmula da receita para encontrar o máximo.
A receita R(p)=p(1000-50p)= -50p^2+1000p tem vértice em p= -1000/(2*(-50))=10 reais, que maximiza R.
O aluno calculou o vértice com erro de cálculo ou de método, por exemplo dividindo 1000 por 200 em vez de por 100, e chegou a 5 reais.
O aluno testou preços inteiros de forma incompleta, parou em 8 reais por perceber que a receita era alta ali e não verificou que 10 reais dá valor maior, ou aplicou a fórmula com erro de sinal.
Raio-X da questão
maximização de receita
avaliacao
função afim e quadrática · análise de gráficos
estude funções quadráticas e maximização de funções
confundir a relação entre preço e demanda, ou não aplicar corretamente a fórmula da receita para encontrar o máximo.
tomada_decisao
cotidiano
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