O número 3,2151515... repete os algarismos 15 para sempre. Qual é sua fração geratriz irredutível?
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O número 3,2151515... repete os algarismos 15 para sempre. Qual é sua fração geratriz irredutível?
- A) 3212/999
- B) 643/200
- C) 1061/300
- D) 1061/330
- E) 643/198
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Separe a parte inteira da parte decimal: 3,2151515... = 3 + 0,2151515...
- Chame x = 0,2151515... Como o 2 não se repete e só o bloco 15 se repete, há uma parte não periódica (o 2) antes do período (15).
- Multiplique por 10 para deslocar a parte não periódica: 10x = 2,151515...
- Veja que 2,151515... = 2 + 0,151515..., e 0,151515... = 15/99 = 5/33 (dízima simples de período 15 gera denominador 99).
- Logo 10x = 2 + 5/33 = 71/33, e então x = 71/330.
- Some a parte inteira: 3 + 71/330 = 990/330 + 71/330 = 1061/330.
- Verifique a irredutibilidade: 330 = 2 x 3 x 5 x 11. O numerador 1061 não é divisível por 2 (é ímpar), nem por 3 (soma dos algarismos 8), nem por 5 (não termina em 0 ou 5) e nem por 11 (11 x 96 = 1056, resto 5). Logo a fração 1061/330 é irredutível.
- Por que as outras estão erradas: A) 3212/999 trata 215 como período, o que não corresponde à repetição real 15. B) 643/200 = 3,215 exato, ignorando que a dízima se repete. C) 1061/300 tem denominador incorreto, pois o período e a parte não periódica geram 330, não 300. E) 643/198 mistura a parte não periódica com o denominador do período sem o fator correto.
- Conclusão: a alternativa correta é a D, 1061/330, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Converta o número decimal periódico em fração e simplifique.
Alternativa por alternativa
Considerou 215 como bloco que se repete, usando 999 no denominador, e ignorou que a repetição real é apenas 15 após o algarismo 2.
Tratou 3,2151515... como se fosse um decimal exato 3,215, ignorando que os algarismos 15 se repetem indefinidamente.
Por que engana: Confundir a conversão de números decimais periódicos em frações, resultando em uma fração que não é irredutível.
Errou o denominador ao combinar a parte não periódica e o período, chegando a 300 em vez de 330 (10 x 33).
Seja x = 3,2151515.... Então 1000x = 3215,1515... e 10x = 32,1515.... Subtraindo, 990x = 3183. Assim, x = 3183/990 = 1061/330.
Usou 198 (2 x 99) como denominador, mas não aplicou corretamente o deslocamento da parte não periódica, misturando as etapas do método.
Raio-X da questão
fração geratriz, número decimal periódico
avaliacao
números decimais · frações irredutíveis
Revisar conversão de números decimais periódicos em frações e simplificação de frações.
Confundir a conversão de números decimais periódicos em frações, resultando em uma fração que não é irredutível.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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