Dados os valores y para x=0,1,2,3: y=0,2,8,18. Usando o método de diferenças, determine se existe a tal que y…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax2.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados os valores y para x=0,1,2,3: y=0,2,8,18. Usando o método de diferenças, determine se existe a tal que y = a x^2 e calcule a.
- A) a = 3
- B) a = 1
- C) a = 4
- D) a = 5
- E) a = 2
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Se y = a x^2, então, para x = 0, 1, 2, 3, os valores são 0, a, 4a e 9a. Como y(1) = 2, y(2) = 8 e y(3) = 18, a relação y = 2x^2 é compatível com todos os dados: 2·0^2 = 0, 2·1^2 = 2, 2·2^2 = 8 e 2·3^2 = 18. Passo 2: Pelo método de diferenças, calculam-se as diferenças de primeira ordem: 2−0 = 2, 8−2 = 6 e 18−8 = 10. Passo 3: Calculam-se as diferenças de segunda ordem: 6−2 = 4 e 10−6 = 4. Como a segunda diferença é constante, a função é quadrática, o que confirma que existe a tal que y = a x^2. Passo 4: Para y = a x^2 com passo h = 1, a segunda diferença é 2a. Logo 2a = 4, e portanto a = 2. Passo 5: Verificação: com a = 2, obtêm-se 0, 2, 8 e 18, exatamente os valores dados. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a = 3 supõe 2a = 6, o que não bate com a segunda diferença 4; a = 1 supõe 2a = 2, valor da primeira diferença, e não da segunda; a = 4 iguala a à segunda diferença sem dividir por 2; a = 5 usa 10, última diferença de primeira ordem, dividida por 2, o que não corresponde a nenhum padrão constante. Resposta: alternativa E, a = 2.
💡 Dica: Calcule as diferenças sucessivas para identificar o padrão.
Alternativa por alternativa
Provavelmente subtraiu 1 da segunda diferença (4−1 = 3), acreditando que a é a segunda diferença menos 1, e esqueceu que a segunda diferença de y = a x^2 com passo 1 é 2a.
Tomou a primeira diferença (2−0 = 2) como sendo o próprio coeficiente a, sem perceber que a função não é linear e que as diferenças de primeira ordem não são constantes.
Igualou a à segunda diferença (4) sem considerar que, para y = a x^2, a segunda diferença vale 2a, e por isso esqueceu de dividir por 2.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os valores de y e a fórmula quadrática, escolhendo um valor de a que não corresponde à sequência correta dos dados.
Usou a última diferença de primeira ordem (18−8 = 10) e dividiu por 2, sem verificar que essa diferença não é constante e que a constância está na segunda diferença.
Primeiras diferenças: 2,6,10. Segundas diferenças: 4,4 (constantes). Para y=ax^2 a segunda diferença constante = 2a ? 2a=4 ? a=2.
Raio-X da questão
método de diferenças
avaliacao
método de diferenças · funções quadráticas
Revisar o método de diferenças e a forma quadrática.
O aluno pode confundir a relação entre os valores de y e a fórmula quadrática, escolhendo um valor de a que não corresponde à sequência correta dos dados.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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