Uma escola faz dois sorteios sucessivos, sem reposição, entre 10 alunos para atribuir duas bolsas. a) Qual a…

Questão

Uma escola faz dois sorteios sucessivos, sem reposição, entre 10 alunos para atribuir duas bolsas. a) Qual a probabilidade de um aluno específico (Ana) ser escolhido para pelo menos uma bolsa? b) Se os sorteios fossem com reposição, qual seria a probabilidade de Ana ser escolhida pelo menos uma vez? c) Compare os resultados e explique se os eventos “Ana escolhida no 1º sorteio” e “Ana escolhida no 2º sorteio” são independentes em cada caso.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Sem reposição: P(ana pelo menos uma vez)=1-P(não escolhida em ambos). P(não no 1º)=9/10; dado que não foi escolhida, P(não no 2º)=8/9. Logo P(não em ambos)=(9/10)·(8/9)=8/10=4/5. Assim P(ana=1)=1-4/5=1/5 (0,20). b) Com reposição: em cada sorteio P(ana não escolhida)=9/10; para dois sorteios independentes P(não em ambos)=(9/10)²=81/100. Então P(ana=1)=1-81/100=19/100 (0,19). c) Comparação e independência: sem reposição a probabilidade de Ana ser escolhida pelo menos uma vez é 0,20, ligeiramente maior que 0,19 com reposição; isso ocorre porque sem reposição a seleção sem Ana aumenta a chance de ela ser escolhida no segundo sorteio. Nos sorteios com reposição os eventos "Ana no 1º" e "Ana no 2º" são independentes (P(intersecção)= (1/10)·(1/10)=1/100). Sem reposição os eventos são dependentes: se Ana foi escolhida no 1º, não pode ser escolhida no 2º (P=0), portanto P(2º|1º)?P(2º).

Explicação

A probabilidade de Ana ser escolhida em sorteios sem reposição é maior, pois a seleção de um aluno afeta diretamente as opções disponíveis no próximo sorteio. Quando os sorteios são com reposição, cada sorteio é independente, mantendo as mesmas probabilidades em cada um deles. A comparação das probabilidades revela que, sem reposição, a escolha de um aluno em um sorteio influencia a escolha no seguinte, tornando os eventos dependentes.

Raio-X da questão

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