Você tem duas caixas: Caixa A contém 3 bolas vermelhas e 2 azuis; Caixa B contém 1 vermelha e 4 azuis…

Questão

Você tem duas caixas: Caixa A contém 3 bolas vermelhas e 2 azuis; Caixa B contém 1 vermelha e 4 azuis. Escolhe-se aleatoriamente uma caixa (P=1/2 para cada) e retira-se uma bola dessa caixa. (a) Calcule P(obter vermelha). (b) Verifique se os eventos 'escolher Caixa A' e 'obter vermelha' são independentes. (c) Agora, suponha que, após escolher uma caixa, retiram-se duas bolas dessa mesma caixa sem reposição. Calcule P(ambas vermelhas) no caso da Caixa A e determine se as duas retiradas dentro da Caixa A são independentes.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) P(vermelha) = P(A)·P(vermelha|A) + P(B)·P(vermelha|B) = (1/2)·(3/5) + (1/2)·(1/5) = (3/10)+(1/10)=4/10=2/5. b) Para independência testar P(vermelha|A) ?= P(vermelha). P(vermelha|A)=3/5=0,6; P(vermelha)=0,4. Como 0,6 ? 0,4, os eventos não são independentes — a escolha da caixa altera a probabilidade de vermelha. c) Na Caixa A, sem reposição, P(ambas vermelhas|A) = (3/5)·(2/4) = (3/5)·(1/2) = 3/10. As duas retiradas na Caixa A são dependentes porque P(2ª vermelha|1ª vermelha)=2/4 ? P(2ª vermelha) antes da 1ª retirada; portanto não se multiplicam como se fossem independentes.

Explicação

A primeira parte do cálculo utiliza a regra da probabilidade total, considerando as chances de escolher cada caixa e a probabilidade de obter uma bola vermelha em cada uma delas. A análise de independência é feita comparando a probabilidade condicional de obter uma bola vermelha na Caixa A com a probabilidade total, mostrando que a escolha da caixa influencia o resultado. Na última parte, a probabilidade de retirar duas bolas vermelhas sem reposição é calculada levando em conta que a retirada da primeira bola altera a composição da caixa, evidenciando a dependência entre os eventos.

Raio-X da questão

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