Um spinner escolhe um setor: S1 com P=1/5, S2 com P=1/2, S3 com P=3/10. Se S1 ocorre, tira-se de Urna1 (1…

Questão

Um spinner escolhe um setor: S1 com P=1/5, S2 com P=1/2, S3 com P=3/10. Se S1 ocorre, tira-se de Urna1 (1 vermelha,2 azuis). Se S2, tira-se de Urna2 (3 vermelhas,2 azuis). Se S3, tira-se de Urna3 (2 vermelhas,3 azuis). Faz-se uma única retirada da urna escolhida. Seja U1='spinner caiu em S1' e R='bola vermelha'. Determine P(R), calcule P(U1nR) e avalie se U1 e R são independentes, justificando com cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Dados: P(S1)=1/5, P(S2)=1/2, P(S3)=3/10. Probabilidades condicionais: P(R|S1)=1/3, P(R|S2)=3/5, P(R|S3)=2/5. Usando a lei da probabilidade total: P(R)=? P(Si)P(R|Si) = (1/5)(1/3)+(1/2)(3/5)+(3/10)(2/5). Calcule frações: (1/5)(1/3)=1/15 = 10/150; (1/2)(3/5)=3/10 = 45/150; (3/10)(2/5)=6/50 = 18/150. Somando: P(R)= (10+45+18)/150 = 73/150. Agora P(U1nR)=P(S1)P(R|S1) = 1/5·1/3 = 1/15 = 10/150. Compare P(U1)P(R) = (1/5)·(73/150) = 73/750. Convertendo 1/15 para /750: 1/15 = 50/750. Como 50/750 ? 73/750, temos P(U1nR) ? P(U1)P(R); portanto U1 e R são dependentes. Conclusão: calcular P(R) pela soma ponderada, computar P(U1nR) e verificar que não atende à condição de independência.

Explicação

A solução utiliza a lei da probabilidade total para calcular a probabilidade de retirar uma bola vermelha, considerando todas as urnas e suas respectivas probabilidades. Em seguida, calcula a probabilidade conjunta de escolher S1 e retirar uma bola vermelha, comparando-a com o produto das probabilidades individuais de S1 e R. A diferença entre essas probabilidades indica que os eventos não são independentes, já que P(U1nR) é diferente de P(U1)P(R).

Raio-X da questão

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