Escolhe-se ao acaso uma permutação uniforme dos números {1,2,3,4}. Seja A = "o primeiro elemento é 1" e B = "o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Escolhe-se ao acaso uma permutação uniforme dos números {1,2,3,4}. Seja A = "o primeiro elemento é 1" e B = "o último elemento é 2". Determine P(A), P(B), P(A n B) e verifique se A e B são independentes.
- A) P(B) = 1/2.
- B) Dependentes; P(A)=1/4, P(B)=1/4, P(A n B)=1/12.
- C) P(A n B) = 1/6.
- D) Eventos são sempre independentes.
- E) P(A) = 1/6.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- O espaço amostral tem 4! = 24 permutações, todas igualmente prováveis.
- Para A (primeiro elemento é 1), fixa-se o 1 na primeira posição e permutam-se os outros três: 3! = 6 casos. Logo P(A) = 6/24 = 1/4.
- Para B (último elemento é 2), fixa-se o 2 na última posição e permutam-se os outros três: 3! = 6 casos. Logo P(B) = 6/24 = 1/4.
- Para A e B juntos, fixam-se o 1 na primeira posição e o 2 na última; os números 3 e 4 ocupam as posições do meio em 2! = 2 ordens. Logo P(A e B) = 2/24 = 1/12.
- Dois eventos são independentes quando P(A e B) = P(A) x P(B). Aqui P(A) x P(B) = 1/4 x 1/4 = 1/16, que é diferente de 1/12. Portanto A e B são dependentes.
- Conclusão: a alternativa B está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque P(B) é 1/4, não 1/2. A alternativa C está errada porque P(A e B) é 1/12, não 1/6. A alternativa D está errada porque independência não é uma propriedade automática de qualquer espaço equiprovável; deve ser verificada pela igualdade do produto. A alternativa E está errada porque P(A) é 1/4, não 1/6.
💡 Dica: Calcule as probabilidades usando a definição de permutação.
Alternativa por alternativa
Assume que a última posição ser 2 ocorre com probabilidade 1/2, como se fosse um experimento de cara ou coroa, sem contar as 4 posições possíveis para o número 2.
Há 4! = 24 permutações. A ocorre em 6 permutações ? P(A)=6/24=1/4. Analogamente P(B)=1/4. Para AnB fixam-se 1 na primeira e 2 na última; as 2 posições do meio permutam-se em 2! =2 ? P(AnB)=2/24=1/12. Como 1/4·1/4=1/16 ?1/12, são dependentes.
Conta 4 casos favoráveis para A e B juntos, provavelmente ao confundir a condição de dupla fixação com a fixação de apenas um elemento, ou ao errar a contagem das permutações do meio.
Por que engana: Confundir a probabilidade de eventos independentes com a de eventos dependentes, levando a um cálculo incorreto.
Acredita que eventos em espaços equiprováveis são sempre independentes, sem testar a condição P(A e B) = P(A) x P(B).
Calcula P(A) como 1/3! ou divide por 6 em vez de 24, errando o número de permutações favoráveis ou do espaço amostral.
Raio-X da questão
probabilidade de eventos
avaliacao
permutacoes e combinacoes · probabilidade de eventos
Revisar conceitos de permutação e probabilidade.
Confundir a probabilidade de eventos independentes com a de eventos dependentes, levando a um cálculo incorreto.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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