(Dissertativa) Sorteia-se um ângulo ? de forma uniforme no intervalo [0,p]. Defina A = {cos ? > 0} e B = {? >…

Questão

(Dissertativa) Sorteia-se um ângulo ? de forma uniforme no intervalo [0,p]. Defina A = {cos ? > 0} e B = {? > p/2}. Calcule P(A), P(B), P(AnB) e conclua se A e B são independentes. Apresente raciocínio.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como ? é uniforme em [0,p], comprimento total = p. A: cos ? >0 ? ??[0,p/2), comprimento p/2 ? P(A)= (p/2)/p = 1/2. B: ?>p/2 ? intervalo (p/2,p], comprimento p/2 ? P(B)=1/2. Interseção AnB é vazia (não há ? em [0,p] com cos ?>0 e ?>p/2), logo P(AnB)=0. Se fossem independentes teríamos P(AnB)=P(A)P(B)=1/4, mas 0?1/4; portanto A e B não são independentes.

Explicação

A análise do problema mostra que os eventos A e B têm comprimentos iguais de p/2, resultando em probabilidades de 1/2 para ambos. A interseção AnB é vazia, pois não existe um ângulo que satisfaça simultaneamente as condições de A e B, levando a P(AnB) igual a 0. Como a condição de independência requer que P(AnB) seja igual a P(A)P(B), e isso não se verifica, conclui-se que A e B não são independentes.

Raio-X da questão

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