Matemática7º anoBNCC EF07MA34Difícil⏱ longo

Uma urna contém x bolas vermelhas e 6 bolas azuis. Retiram-se duas bolas sem reposição. Para qual valor de x…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF07MA34

Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Uma urna contém x bolas vermelhas e 6 bolas azuis. Retiram-se duas bolas sem reposição. Para qual valor de x os eventos A = "primeira é vermelha" e B = "segunda é vermelha" são independentes? Explique algebricamente.

A) A e B são independentes se x > 6, já que mais vermelhas garantem a independência.
B) Não existe valor x=1 que torne A e B independentes (com 6 azuis); independência ocorre só se não houver bolas azuis.
C) Para x = 0, A e B são independentes, pois não há bolas vermelhas.
D) Com 6 azuis, A e B sempre são independentes para qualquer x.
E) A e B podem ser independentes com x = 1, já que apenas uma bola não afeta a segunda.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Seja x o número de bolas vermelhas. Com 6 azuis, a urna tem x + 6 bolas. Na primeira retirada, P(A) = x/(x+6). Como não há informação sobre a primeira bola, a segunda tem a mesma probabilidade de ser vermelha, logo P(B) = x/(x+6). Passo 2: Se a primeira for vermelha, restam x-1 vermelhas em x+5 bolas, então P(A e B) = x(x-1)/((x+6)(x+5)). Passo 3: Independência exige P(A e B) = P(A) x P(B), ou seja, x(x-1)/((x+6)(x+5)) = x^2/(x+6)^2. Passo 4: Se x for diferente de 0, podemos dividir ambos os lados por x e multiplicar por (x+6)^2(x+5). Obtemos (x-1)(x+6) = x(x+5), que resulta em x^2+5x-6 = x^2+5x, ou seja, -6 = 0, o que é impossível. Portanto, nenhum x positivo torna A e B independentes. Passo 5: Para x = 0 não há bolas vermelhas, então P(A) = P(B) = P(A e B) = 0, e a igualdade 0 = 0 x 0 é verdadeira. Logo A e B são independentes, o que corresponde à alternativa C. Passo 6: Alternativa A: ter mais vermelhas não garante independência, pois a retirada sem reposição altera a composição da urna. Alternativa B: a condição não é ausência de azuis; o que impede a independência para x positivo é a dependência criada pela retirada sem reposição. Alternativa D: com 6 azuis a independência não ocorre para qualquer x, pois o cálculo mostra que, para x positivo, a igualdade nunca se verifica. Alternativa E: remover uma bola altera a composição da urna, de modo que a segunda probabilidade muda; com x = 1, P(A e B) = 0 é diferente de P(A) x P(B) = 1/49.

💡 Dica: Utilize a definição de eventos independentes para resolver a questão.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceituala que mais engana

O aluno acredita que, quanto mais bolas vermelhas houver, menor é a influência da primeira retirada, e por isso os eventos ficariam independentes. Ele não percebe que a retirada sem reposição sempre altera a composição da urna.

Por que engana: Confundir a condição de independência, acreditando que mais bolas vermelhas sempre garantem a independência dos eventos.

B Erradaerro: Conceitual

O aluno associa independência à ausência de bolas azuis, quando na verdade a dependência surge da retirada sem reposição de bolas vermelhas. Confunde a condição que torna os eventos independentes com um critério sobre a cor das bolas que não se aplica.

C Correta

É a resposta que o enunciado sustenta.

D Erradaerro: Conceitual

O aluno supõe que a presença fixa de 6 bolas azuis faz a probabilidade da segunda bola não depender da primeira, para qualquer x. Ele não verifica a igualdade P(A e B) = P(A) x P(B) e não nota que a remoção de uma bola muda a proporção de vermelhas.

E Erradaerro: Senso comum

O aluno pensa que retirar uma única bola não altera a chance de a segunda ser vermelha, como se a proporção se mantivesse. Esse raciocínio vem da intuição cotidiana de que um item a menos pouco muda, sem considerar que, sem reposição, a composição da urna muda.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Avaliar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ interpretativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

probabilidade de eventos independentes

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

probabilidade de eventos · eventos independentes

📚 Reveja

Revisar a definição de eventos independentes e como calcular probabilidades.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a condição de independência, acreditando que mais bolas vermelhas sempre garantem a independência dos eventos.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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