Considere um prisma reto de altura 3,00 m cuja base é um triângulo equilátero de lado a = 4,00 m. Um cilindro…

Questão

Considere um prisma reto de altura 3,00 m cuja base é um triângulo equilátero de lado a = 4,00 m. Um cilindro reto está inscrito na base do prisma, com a base circular tangente aos três lados do triângulo e eixo perpendicular à base. Determine o raio r do cilindro e a altura h do cilindro tal que o volume do cilindro seja igual à metade do volume do prisma.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Raio do círculo inscrito no triângulo equilátero: r = a·v3/6 = 4·v3/6 = 2v3/3 ˜ 1,155 m. Área da base do triângulo: A = (v3/4)a² = (v3/4)·16 = 4v3. Volume do prisma: Vp = A·3 = 12v3. Metade: (1/2)Vp = 6v3. Volume do cilindro: Vc = p r² h. Substituindo r: r² = (2v3/3)² = 12/9 = 4/3, então Vc = p·(4/3)·h = (4p/3)h. Igualando: (4p/3)h = 6v3 ? h = (6v3)·(3/(4p)) = (18v3)/(4p) = (9v3)/(2p) ˜ 2,481 m. Portanto r = 2v3/3 ˜ 1,155 m e h ˜ 2,481 m.

Explicação

O cálculo do raio do cilindro inscrito utiliza a fórmula do raio do círculo inscrito em um triângulo equilátero, garantindo que a base circular toque os lados do triângulo. O volume do prisma é determinado pela área da base triangular multiplicada pela altura, e a metade desse volume é igualada ao volume do cilindro, que é expresso em função do raio e da altura. A resolução da equação resultante fornece a altura do cilindro, completando a relação entre os volumes e as dimensões solicitadas.

Raio-X da questão

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