Um observador mede um arco correspondente a 25 minutos de arco (25') em uma circunferência de raio r =…

Questão

Um observador mede um arco correspondente a 25 minutos de arco (25') em uma circunferência de raio r = 2,50×10^6 m. (a) Calcule a distância do arco s em quilômetros (use p = 3,1416). (b) Se o mesmo ângulo central for aplicado a um microanel de raio r_micro = 0,45 mm, qual seria o comprimento do arco correspondente em micrômetros?

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Passo 1: converter o ângulo em radianos. 25' = 25/60 ° = 25/60 × (p/180) rad = p/432 rad.\n(a) comprimento no observatório: s = r·? = 2,50×10^6·(p/432) m = (2,50×10^6·3,1416)/432 m = 7.854×10^6/432 m ˜ 18.18148148×10^3 m = 1,8181×10^4 m = 18,18148148 km. Resultado: s ˜ 18,181 km.\n(b) microanel: r_micro = 0,45 mm = 0,45×10^-3 m = 4,5×10^-4 m. Comprimento s_micro = r_micro·? = 4,5×10^-4·(p/432) m = (4,5×10^-4·3,1416)/432 m ˜ 3,2730556×10^-6 m = 3,2730556 µm. Resultado: s_micro ˜ 3,273 µm.\nObservação: usou-se a mesma medida angular em radianos para ambas as escalas; os resultados mostram a proporcionalidade linear entre raio e comprimento do arco.

Explicação

A conversão do ângulo de minutos para radianos é essencial para aplicar a fórmula do comprimento do arco, que relaciona o raio com o ângulo central. O cálculo do comprimento do arco em diferentes escalas mostra que, mantendo o mesmo ângulo, a proporção entre o raio e o comprimento do arco se mantém constante. Isso demonstra a linearidade da relação entre o raio e o comprimento do arco em circunferências.

Raio-X da questão

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