DISCERTATIVA: Considere um circuito série RLC isolado (sem fonte externa após t=0) com R = 20,0 O, L = 200 mH…

Questão

DISCERTATIVA: Considere um circuito série RLC isolado (sem fonte externa após t=0) com R = 20,0 O, L = 200 mH e C = 50,0 µF. Antes de t=0 o capacitor está carregado a V_0 = 100 V e a corrente é nula. a) Determine se a resposta é subamortecida, amortecida ou superamortecida. b) Modele e escreva a expressão para a corrente i(t) para t>0. c) Calcule os valores numéricos de a, ?_0, ?_d e a expressão numérica de i(t).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Equac¸ão característica: d^2i/dt^2 + (R/L) di/dt + (1/LC) i = 0. Defina a = R/(2L), ?0 = 1/v(LC). Com R=20 O, L=0.2 H, C=50·10^-6 F: a = 20/(2·0.2)=50 s^-1. ?0 = 1/v(0.2·50e-6)=316.23 rad/s. Como a < ?0, o circuito é subamortecido (underdamped) e a solução é oscilatória amortecida. A frequência angular amortecida ?_d = v(?0^2 - a^2) = v(316.23^2 - 50^2) = 312.23 rad/s. Para condição inicial i(0)=0 e v_C(0)=V0, a corrente é i(t) = (V0/(L·?_d)) e^{-a t} sin(?_d t). Substituindo valores: amplitude = V0/(L·?_d) = 100/(0.2·312.23) ˜ 1.601 A. Assim i(t) ˜ 1.601 e^{-50 t} sin(312.23 t) A. Período aproximado T = 2p/?_d ˜ 0.0201 s. A resistência dissipa energia, portanto a amplitude decai exponencialmente com e^{-a t}.

Explicação

A análise da equação característica permite identificar o tipo de resposta do circuito, que neste caso é subamortecida, pois a taxa de amortecimento é menor que a frequência natural. A expressão da corrente é derivada das condições iniciais e da forma da solução para circuitos RLC, levando em conta a oscilação amortecida. O cálculo dos parâmetros e a substituição dos valores numéricos garantem a precisão da expressão final da corrente.

Raio-X da questão

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