No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A(1,2), B(9,6) e C(5,14). Seja M o ponto médio de BC…

Questão

No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A(1,2), B(9,6) e C(5,14). Seja M o ponto médio de BC. Determine: a) as coordenadas de M; b) as distâncias AB, AC e BM; c) a área do triângulo ABC; d) mostre que a mediana AM divide ABC em duas regiões de mesma área.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) M = ((9+5)/2,(6+14)/2) = (7,10). b) AB = v[(9-1)²+(6-2)²]=v(64+16)=v80=4v5; AC = v[(5-1)²+(14-2)²]=v(16+144)=v160=4v10; BM = v[(7-9)²+(10-6)²]=v(4+16)=v20=2v5. c) Área = (1/2)|1(6-14)+9(14-2)+5(2-6)| = (1/2)|-8+108-20| = (1/2)·80 = 40. d) Como M é ponto médio de BC, BM = MC; a mediana AM liga um vértice ao ponto médio da base, dividindo a base em duas partes iguais e, portanto, as alturas relativas a essas bases são iguais; assim as áreas dos triângulos ABM e AMC são iguais (cada uma com área 20).

Explicação

As coordenadas do ponto médio M são calculadas pela média das coordenadas dos pontos B e C. As distâncias entre os pontos são determinadas pela fórmula da distância euclidiana, garantindo que cada segmento seja corretamente medido. A área do triângulo é encontrada utilizando a fórmula de área com determinantes, e a mediana AM divide o triângulo em duas regiões de mesma área devido à simetria criada pelo ponto médio M.

Raio-X da questão

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