No plano cartesiano, considere o paralelogramo ABCD com vértices A(-2,1), B(4,1), C(6,5) e D(0,5). a)…

Questão

No plano cartesiano, considere o paralelogramo ABCD com vértices A(-2,1), B(4,1), C(6,5) e D(0,5). a) Determine, sem usar fórmulas prontas, o ponto médio M da diagonal AC. b) Calcule, sem usar fórmulas prontas, o comprimento da diagonal BD. c) Utilizando os resultados anteriores, determine o perímetro e a área do paralelogramo ABCD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Diagonal AC liga A(-2,1) a C(6,5). O ponto médio tem coordenadas obtidas somando coordenadas correspondentes e dividindo por 2: M = ((-2+6)/2, (1+5)/2) = (4/2,6/2) = (2,3). b) Diagonal BD liga B(4,1) a D(0,5). O deslocamento de B para D é ?x = 0-4 = -4 e ?y = 5-1 = 4. A distância BD é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos 4 e 4, logo BD = v(4²+4²) = v32 = 4v2. c) Comprimentos dos lados: AB vai de (-2,1) a (4,1), portanto AB = 4-(-2) = 6 (segmento horizontal). AD vai de (-2,1) a (0,5), deslocamento (2,4), então AD = v(2²+4²) = v20 = 2v5. Perímetro = 2·(AB+AD) = 2·(6+2v5) = 12 + 4v5. Área: como AB é horizontal (y=1) e DC é horizontal (y=5), a altura do paralelogramo é a diferença entre as ordenadas, 5-1 = 4. Assim área = base·altura = AB·altura = 6·4 = 24 unidades². (Também pode-se obter área pelo determinante dos vetores AB=(6,0) e AD=(2,4): |6·4-0·2|=24.)

Explicação

A determinação do ponto médio M da diagonal AC foi feita somando as coordenadas dos pontos A e C e dividindo por 2, resultando em um ponto que está equidistante dos dois vértices. O comprimento da diagonal BD foi calculado utilizando o teorema de Pitágoras, considerando os deslocamentos nas coordenadas, o que permitiu encontrar a hipotenusa do triângulo formado. Por fim, o perímetro e a área do paralelogramo foram obtidos a partir das medidas dos lados e da altura, utilizando propriedades geométricas e relações entre as coordenadas dos vértices.

Raio-X da questão

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