Um prisma reto tem base um triângulo retângulo cujos catetos medem 9 cm e 12 cm e altura do prisma 20 cm. Um…

Questão

Um prisma reto tem base um triângulo retângulo cujos catetos medem 9 cm e 12 cm e altura do prisma 20 cm. Um cilindro reto é inscrito no prisma com eixo perpendicular às bases. Calcule a razão (volume do cilindro) / (volume do prisma) e interprete o resultado. Justifique todos os passos, usando o teorema de Pitágoras quando necessário.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Verificar hipotenusa: v(9^2 + 12^2) = v(81+144) = v225 = 15, logo o triângulo é retângulo com lados 9, 12, 15. 2) Inradio do triângulo retângulo: r = (a + b - c)/2 = (9+12-15)/2 = 3. 3) Volume do cilindro inscrito: Vc = p r^2 h = p·3^2·20 = 180p cm³. 4) Área da base do prisma: Ab = (9·12)/2 = 54 cm². Volume do prisma: Vp = Ab·h = 54·20 = 1080 cm³. 5) Razão: Vc / Vp = 180p / 1080 = p/6 ˜ 0,5236. Interpretação: o cilindro ocupa p/6 (˜52,36%) do volume do prisma; o resultado independe da altura do prisma e depende apenas da forma do triângulo base.

Explicação

A solução apresenta os cálculos necessários para determinar o inrádio do triângulo retângulo, que é fundamental para encontrar o volume do cilindro inscrito. A comparação entre os volumes do cilindro e do prisma revela que a proporção depende apenas da forma do triângulo da base, não da altura do prisma. Essa interpretação é importante para entender a relação geométrica entre as figuras.

Raio-X da questão

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