Considere o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, AC = 12 cm e BC = 5 cm. Seja D o ponto em AC tal que…

Questão

Considere o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, AC = 12 cm e BC = 5 cm. Seja D o ponto em AC tal que AD = (1/3)·AC. Traçando DE ? AB, obtém-se o triângulo retângulo DEC semelhante a ABC. Repetindo o procedimento no triângulo DEC (isto é, marcando no cateto correspondente a AC um ponto na razão 1/3 e traçando a paralela à hipotenusa), define-se a sequência (h_n) das hipotenusas obtidas, com h_1 = AB e h_{n+1} hipotenusa do n+1-ésimo triângulo. Prove que h_{n+1} = (2/3)·h_n para todo n e deduza a fórmula explícita de h_n. Calcule h_5.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Primeiro calcule AB: AB = v(AC² + BC²) = v(12² + 5²) = v(144 + 25) = v169 = 13 cm. No primeiro passo, AD = (1/3)·AC ? DC = (2/3)·AC. Como DE ? AB, os triângulos DEC e ABC são semelhantes com razão de semelhança igual a DC/AC = 2/3; portanto a hipotenusa do triângulo DEC é h_2 = (2/3)·h_1. Repetindo o argumento em cada etapa, obtém-se h_{n+1} = (2/3)·h_n para todo n. Assim (h_n) é progressão geométrica com razão r = 2/3 e termo inicial h_1 = 13, logo h_n = 13·(2/3)^{n-1}. Em particular, h_5 = 13·(2/3)^{4} = 13·16/81 = 208/81 cm (aprox. 2,57 cm).

Explicação

A solução utiliza a semelhança dos triângulos para estabelecer uma relação entre as hipotenusas, mostrando que cada nova hipotenusa é dois terços da anterior. Isso leva à formação de uma progressão geométrica, onde o primeiro termo e a razão são claramente definidos. O cálculo de h_5 é então realizado aplicando a fórmula geral da progressão geométrica, resultando no valor final.

Raio-X da questão

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