Considere a sequência (a_n) definida por a_1 = 13 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 12²). (a) Prove, por…

Questão

Considere a sequência (a_n) definida por a_1 = 13 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 12²). (a) Prove, por indução, que a_n = v(13² + 12²(n-1)) para todo n?N*. (b) Calcule a_4.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resolução: 1) Base: para n=1, RHS = v(13² + 144·0) = v169 = 13 = a_1, ok. 2) Passo indutivo: suponha a_k = v(169 + 144(k-1)). Então a_k² = 169 + 144(k-1). Pelo enunciado, a_{k+1}² = a_k² + 144 = 169 + 144(k-1) + 144 = 169 + 144k, logo a_{k+1} = v(169 + 144k). Assim a fórmula vale para k+1. Portanto, por indução, a_n = v(169 + 144(n-1)) para todo n=1. 3) Cálculo de a_4: a_4 = v(169 + 144·3) = v(169 + 432) = v601.

Explicação

A prova por indução demonstra que a fórmula proposta para a_n se mantém verdadeira ao longo da sequência, validando a base e o passo indutivo. O cálculo de a_4 utiliza a fórmula confirmada, substituindo n por 4 e realizando as operações necessárias para encontrar o valor. Assim, a resolução mostra que a sequência se comporta conforme a definição inicial e a fórmula encontrada.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Uma equipe de arquitetura compara duas telas retangulares para uma instalação ao ar livre. A tela A mede 12 m por 16 m…
• Durante a montagem de um palco ao ar livre, uma equipe instala uma escora reta entre o chão e uma estrutura vertical. O…
• Em uma reconstrução digital de um aqueduto romano, sensores a laser medem dois deslocamentos perpendiculares entre…
• Na montagem de uma escultura ao ar livre, duas hastes perpendiculares formam os catetos de um triângulo retângulo. O…
• Uma equipe de cenografia monta uma armação triangular retângula para um painel. No primeiro projeto, os catetos medem 3…
• Em uma oficina de cenografia, dois painéis triangulares retângulos serão instalados em uma vitrine. No painel A, os…

Todas as questões de Relações métricas no triângulo retângulo