Considere a sequência (a_n) das hipotenusas de triângulos retângulos cujos catetos medem 3n e 4, para n?N*…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar regularidades em sequências ordenadas de números naturais, resultantes da realização de adições ou subtrações sucessivas, por um mesmo número, descrever uma regra de formação da sequência e determinar elementos faltantes ou seguintes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere a sequência (a_n) das hipotenusas de triângulos retângulos cujos catetos medem 3n e 4, para n?N*. (a) Determine a fórmula fechada de a_n. (b) Apresente uma relação recursiva entre a_{n+1} e a_n. (c) Calcule a_5 e discuta se a sequência é crescente.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Fórmula fechada: a_n = v( (3n)^2 + 4^2 ) = v(9n^2 + 16 ). Relação recursiva: a_{n+1} = v(9(n+1)^2 + 16) = v(9n^2 + 18n + 9 + 16) = v(a_n^2 + 18n + 9). Cálculo: a_5 = v(9·25 + 16) = v241 ˜ 15,524. Monotonicidade: a_{n+1}^2 - a_n^2 = 18n + 9 > 0 para todo n=1, portanto a_{n+1} > a_n e a sequência é estritamente crescente.
Explicação
A fórmula fechada foi derivada utilizando o teorema de Pitágoras, que relaciona os catetos e a hipotenusa. A relação recursiva foi estabelecida ao expressar a hipotenusa do próximo termo em função do termo atual, mostrando a relação entre os quadrados das hipotenusas. O cálculo de a_5 e a análise da diferença entre os quadrados das hipotenusas confirmam que a sequência é estritamente crescente, pois a diferença é sempre positiva.
Raio-X da questão
teorema de Pitágoras
fixacao
teorema de Pitágoras · sequências numéricas
Revisar o teorema de Pitágoras e sequências numéricas.
O aluno pode confundir a relação entre os catetos e a hipotenusa, aplicando incorretamente a fórmula do teorema de Pitágoras.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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