(Dissertativa) Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B, a altura BD é traçada até a hipotenusa AC…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
(Dissertativa) Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B, a altura BD é traçada até a hipotenusa AC, encontrando AC em D. Prove que AB² = AD·AC e BC² = DC·AC e, em seguida, aplique essas relações para calcular AB e BC quando AD=9 cm e DC=16 cm.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Prova: Nos triângulos ABD e CBD temos ângulos retos em B e ângulos agudos comuns a cada par; observe que ?BAD = ?CAB e ?BCD = ?CBA por similaridade entre triângulos ABD ~ ABC e CBD ~ ABC. Assim, triângulo ABD ~ ABC ? AB/AB = AD/AC? (formulação correta:) Da semelhança ABD ~ ABC segue AB/AC = AD/AB ? AB² = AD·AC. Analogamente, de CBD ~ ABC segue BC/AC = DC/BC ? BC² = DC·AC. Cálculo: AC = AD+DC =9+16=25 cm. Então AB² =9·25=225 ? AB=15 cm; BC² =16·25=400 ? BC=20 cm. Portanto AB=15 cm e BC=20 cm, conforme as relações demonstradas.
Explicação
A demonstração utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os lados do triângulo retângulo e suas projeções na hipotenusa. A aplicação dessas relações permite calcular os comprimentos dos lados AB e BC com base nos segmentos AD e DC. Os resultados obtidos estão de acordo com as propriedades dos triângulos semelhantes e a soma dos segmentos na hipotenusa.
Raio-X da questão
teorema de Pitágoras
avaliacao
teorema de Pitágoras · propriedades de triângulos
Revisar o teorema de Pitágoras e suas aplicações em triângulos retângulos.
O aluno pode confundir as relações entre os lados do triângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras sem considerar a altura traçada.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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