No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto está em B. A altitude BD sobre a hipotenusa AC divide AC em AD = 3x…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto está em B. A altitude BD sobre a hipotenusa AC divide AC em AD = 3x e DC = 12. Se AB = 9, determine o valor de x.
- A) x = 12
- B) x = 2 - v13
- C) x = -2 + v13 (raiz positiva)
- D) x = 5 + v13
- E) x = 3
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Em todo triângulo retângulo, a altitude relativa à hipotenusa forma dois triângulos semelhantes ao original. Disso decorre a relação AB^2 = AD * AC, em que AB é cateto, AD é a projeção desse cateto sobre a hipotenusa e AC é a hipotenusa inteira.
- Os dados são AD = 3x, DC = 12 e AB = 9. Logo AC = AD + DC = 3x + 12.
- Substituindo na relação: 9^2 = 3x * (3x + 12), ou seja, 81 = 9x^2 + 36x.
- Dividindo por 9 chega-se a x^2 + 4x - 9 = 0.
- Pela fórmula de Bhaskara, x = (-4 ± raiz de (16 + 36)) / 2 = (-4 ± raiz de 52) / 2 = -2 ± raiz de 13.
- Como x é uma medida, AD = 3x precisa ser positivo, então x > 0. A raiz -2 - raiz de 13 é negativa e deve ser descartada. Resta x = -2 + raiz de 13 (aproximadamente 1,61).
- Conferindo, a alternativa C é a única compatível com a raiz positiva, e o gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas: A) x = 12 confunde x com o segmento DC; B) 2 - raiz de 13 é negativo, o que não serve para uma medida; D) 5 + raiz de 13 não resulta da equação correta; E) x = 3 daria AD = 9, igual a AB, o que não é compatível com os dados.
💡 Dica: Utilize o teorema de Pitágoras para resolver a questão.
Alternativa por alternativa
Assume que x vale o próprio comprimento DC = 12, tratando o valor do segmento como se fosse a incógnita, sem montar a relação entre os segmentos.
Por que engana: Confundir a relação entre os segmentos AD e DC, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
Acerta a fórmula de Bhaskara mas escolhe o sinal negativo da raiz (2 - raiz de 13) e não percebe que x precisa ser positivo para que AD = 3x seja uma medida válida.
Pelo teorema da projeção: AB² = AD·AC. Assim, 9² = 3x(3x+12) ?81 = 9x²+36x ?x²+4x-9=0. A solução positiva é x = -2 + v13.
Erra o cálculo da equação do segundo grau, por exemplo ao trocar o coeficiente de x ou o termo independente, e chega a uma raiz com sinal e constante incorretos.
Iguala AD a AB (3x = 9), sem usar a relação AB^2 = AD * AC, ou seja, acredita que o cateto e sua projeção têm o mesmo comprimento.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
propriedades do triângulo retângulo · teorema de Pitágoras
Revisar o teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos retângulos.
Confundir a relação entre os segmentos AD e DC, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
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