No plano cartesiano, sejam A(2,1), B(14,5) e C(6,17). a) Verifique se o triângulo ABC é retângulo. b) Seja D o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, sejam A(2,1), B(14,5) e C(6,17). a) Verifique se o triângulo ABC é retângulo. b) Seja D o ponto médio de AB. A reta por D paralela a AC intercepta BC em E. Determine as coordenadas de D e E e calcule o comprimento DE, justificando os passos.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
a) Calcule AB²=(14-2)²+(5-1)²=12²+4²=160; AC²=(6-2)²+(17-1)²=4²+16²=272; BC²=(6-14)²+(17-5)²=8²+12²=208. Nenhuma soma de dois quadrados é igual ao terceiro ? triângulo não é retângulo. b) D é o ponto médio de AB: D((2+14)/2,(1+5)/2)=(8,3). Coeficiente angular de AC = (17-1)/(6-2)=4. Equação da reta por D com esse coeficiente: y-3=4(x-8) ? y=4x-29. Equação de BC: coeficiente (17-5)/(6-14)=-3/2 ? y-5=(-3/2)(x-14) ? y=(-3/2)x+26. Interseção E: 4x-29=(-3/2)x+26 ? (11/2)x=55 ? x=10 ? y=11 ? E(10,11). Distância DE = v((10-8)²+(11-3)²)=v(4+64)=v68=2v17.
Explicação
A verificação se o triângulo é retângulo foi feita utilizando o Teorema de Pitágoras, calculando os quadrados dos lados e confirmando que a soma de dois não é igual ao terceiro. O ponto D foi corretamente determinado como o ponto médio de AB, e a equação da reta paralela a AC foi encontrada usando o coeficiente angular. A interseção E foi calculada resolvendo as equações das retas, e a distância DE foi obtida utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.
Raio-X da questão
triângulo retângulo e coordenadas
avaliacao
teorema de pitágoras · coordenadas no plano cartesiano
Revisar propriedades de triângulos e cálculo de distâncias no plano cartesiano.
O aluno pode confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, não verificando corretamente se a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
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pensamento_critico
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