No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A(-3,4), B(5,4) e C(5,-2). a) Verifique que ?B é reto. b)…

Questão

No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A(-3,4), B(5,4) e C(5,-2). a) Verifique que ?B é reto. b) Calcule o ponto médio M da hipotenusa AC. c) Determine a equação do círculo com centro M que passa por A.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Vetores BA = A - B = (-3-5, 4-4) = (-8,0) e BC = C - B = (5-5, -2-4) = (0,-6). Como o produto escalar BA·BC = (-8)·0 + 0·(-6) = 0, os vetores são perpendiculares; logo ?B é reto. b) Ponto médio da hipotenusa AC: M = ((-3+5)/2, (4+(-2))/2) = (1,1). c) Raio r = distância MA = v[(-3-1)²+(4-1)²] = v(16+9) = 5. Equação do círculo de centro M(1,1) e raio 5: (x-1)²+(y-1)² = 25.

Explicação

A verificação de que o ângulo em B é reto se baseia no cálculo do produto escalar dos vetores BA e BC, que resulta em zero, confirmando a perpendicularidade. O ponto médio M da hipotenusa AC é encontrado utilizando a fórmula do ponto médio, que considera as coordenadas dos vértices A e C. Por fim, a equação do círculo é derivada a partir do centro M e do raio, que é a distância entre M e A, resultando na forma padrão da equação do círculo.

Raio-X da questão

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