No plano, A(2,-1), B(x,3) e C(8,7) formam um triângulo com ângulo reto em B. Determine os possíveis valores de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano, A(2,-1), B(x,3) e C(8,7) formam um triângulo com ângulo reto em B. Determine os possíveis valores de x.
- A) x = 8
- B) x = 5
- C) x = 0 ou x = 10
- D) x = 15
- E) x = 12
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Para que o ângulo em B seja reto, os vetores BA e BC devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero. Passo 2: Calcule BA = A - B = (2 - x, -1 - 3) = (2 - x, -4). Passo 3: Calcule BC = C - B = (8 - x, 7 - 3) = (8 - x, 4). Passo 4: Faça o produto escalar: (2 - x)(8 - x) + (-4)(4) = 0. Passo 5: Desenvolva: 16 - 2x - 8x + x^2 - 16 = 0, que simplifica para x^2 - 10x = 0. Passo 6: Fatore: x(x - 10) = 0, logo x = 0 ou x = 10. Passo 7: Verifique que os pontos não ficam alinhados em nenhum dos casos: para x = 0, B = (0, 3); para x = 10, B = (10, 3), e em ambos há triângulo não degenerado. Passo 8: Conclusão: a alternativa correta é a C, em concordância com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a A (x = 8) não anula o produto escalar, pois dá -16 e não zero; a B (x = 5) coloca B no ponto médio de AC, em que os três pontos ficam alinhados e não formam triângulo; a D (x = 15) não satisfaz a equação x^2 - 10x = 0; a E (x = 12) também não a satisfaz, pois 144 - 120 = 24 é diferente de zero.
💡 Dica: Utilize o Teorema de Pitágoras para encontrar x.
Alternativa por alternativa
Confundiu a coordenada x de B com a de C, supondo que alinhar B e C na vertical já garante ângulo reto em B. Não verificou a perpendicularidade dos vetores.
Tomou B como ponto médio de AC, cuja abscissa é 5, imaginando que isso gera um ângulo reto. Na verdade, B = (5, 3) está alinhado com A e C, então não há triângulo.
Por que engana: Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
Vetores BA=(2-x,-4) e BC=(8-x,4). Produto escalar BA·BC=0 ? (2-x)(8-x)+(-4)(4)=0 ? x(x-10)=0, logo x=0 ou x=10.
Provavelmente cometeu erro algébrico ao desenvolver o produto escalar ou ao fatorar a equação, chegando a uma raiz indevida como 15. A equação correta é x^2 - 10x = 0.
Provavelmente errou o cálculo do produto escalar ou da equação do segundo grau (por exemplo, sinal do termo -16 ou do coeficiente de x), o que levou a uma raiz falsa 12. Não substituiu o valor na condição de perpendicularidade para checar.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · coordenadas no plano
Revisar o Teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos.
Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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