Considere uma estrela compacta com massa M = 2,00×10^30 kg e raio R = 1,20×10^4 m. (a) Calcule a aceleração…

Questão

Considere uma estrela compacta com massa M = 2,00×10^30 kg e raio R = 1,20×10^4 m. (a) Calcule a aceleração gravitacional g na superfície usando g = GM/R^2 (m/s²). (b) Calcule a velocidade de escape v_e = v(2GM/R) em m/s e expresse-a em fração de c (use c = 3,00×10^8 m/s). Discuta as implicações físicas desses resultados para efeitos relativísticos e retenção de matéria na vizinhança da estrela.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) g = GM/R^2. GM = 6,67×10^-11·2,00×10^30 = 1,334×10^20 m^3/s^2. R^2 = (1,20×10^4)^2 = 1,44×10^8 m^2. g = 1,334×10^20 / 1,44×10^8 ˜ 9,26×10^11 m/s^2. Comparação: g/g_terra ˜ 9,26×10^11 / 10 ˜ 9,26×10^10 vezes maior que na Terra. (b) v_e = v(2GM/R) = v(2·1,334×10^20 / 1,20×10^4) = v(2,223×10^16) ˜ 1,49×10^8 m/s ˜ 0,497 c. Implicações: aceleração superficial imensa e forças de maré extremas impossibilitam sobrevivência de estruturas próximas; velocidade de escape ~0,5c exige tratamento relativístico (energia cinética significativa comparável à massa em E=mc^2), forte compressão e aquecimento de qualquer atmosfera, e altos requisitos energéticos para lançamento de matéria; se R se aproximasse do raio de Schwarzschild r_s = 2GM/c^2 ˜ 2,96×10^3 m, v_e ? c e efeitos de horizonte de eventos surgiriam.

Explicação

Os cálculos realizados para a aceleração gravitacional e a velocidade de escape estão fundamentados nas fórmulas da gravitação universal e da relatividade, mostrando que a estrela possui uma gravidade extremamente alta e uma velocidade de escape significativa em relação à luz. Isso implica que as forças gravitacionais são tão intensas que tornam a sobrevivência de qualquer estrutura próxima impossível, além de exigir considerações relativísticas para a movimentação de matéria nas proximidades. A comparação com o raio de Schwarzschild indica que, se a estrela fosse ainda mais compacta, poderia se tornar um buraco negro, levando ao surgimento de um horizonte de eventos.

Raio-X da questão

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