No triângulo retângulo ABC (ângulo reto em C), AC = 9 cm e BC = 12 cm. Seja CH a altura relativa à hipotenusa…

Questão

No triângulo retângulo ABC (ângulo reto em C), AC = 9 cm e BC = 12 cm. Seja CH a altura relativa à hipotenusa AB e H a projeção de C sobre AB. Prove que CH² = AH·HB e calcule CH, AH e HB.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Cálculo: AB = v(9²+12²) = 15 cm. CH = (AC·BC)/AB = (9·12)/15 = 108/15 = 7,2 cm. AH = AC²/AB = 81/15 = 5,4 cm. HB = BC²/AB = 144/15 = 9,6 cm. Verificação: CH² = 7,2² = 51,84 e AH·HB = 5,4·9,6 = 51,84, logo CH² = AH·HB. Demonstração geral: das semelhanças ?ACH ~ ?HCB resultam AH = AC²/AB, HB = BC²/AB e CH = (AC·BC)/AB; multiplicando AH·HB obtém-se (AC²·BC²)/AB² = CH².

Explicação

A solução apresentada utiliza as relações de semelhança entre os triângulos formados pela altura e os segmentos da hipotenusa, permitindo calcular as projeções AH e HB. A fórmula para a altura CH é derivada da relação entre os catetos e a hipotenusa, garantindo a consistência dos resultados. A verificação final confirma que CH² é igual ao produto AH·HB, validando a relação geométrica estabelecida.

Raio-X da questão

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