Matemática9º anoBNCC EF09MA16Difícil⏱ longo

Uma escola com três séries tem 9ª = 210 alunos, 8ª = 270 alunos e 7ª = 320 alunos. O pesquisador deseja uma…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF09MA16

Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Uma escola com três séries tem 9ª = 210 alunos, 8ª = 270 alunos e 7ª = 320 alunos. O pesquisador deseja uma amostra estratificada proporcional de n = 140. a) Calcule o número de alunos a selecionar em cada série (arredonde para inteiro de modo que a soma seja 140). b) Para três alunos sorteados, as coordenadas de suas casas em relação à escola são A(-200,120), B(80,-150), C(160,90) em metros. Calcule a distância escola-aluno para cada um usando o teorema de Pitágoras e a média dessas três distâncias. c) Explique como a alocação proporcional reduz viés e proponha duas medidas para melhorar a representatividade da amostra.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Resolução modelo: (a) Total = 210+270+320 = 800. Alocações: 9ª: 140·(210/800)=36,75 ? arredondar para 37; 8ª: 140·(270/800)=47,25 ? 47; 7ª: 140·(320/800)=56 ? 56. Verificação: 37+47+56 = 140. (b) Distâncias pela fórmula d = v(x² + y²): A: d_A = v((-200)² + 120²) = v(40000+14400) = v54400 ˜ 233,24 m. B: d_B = v(80² + (-150)²) = v(6400+22500) = v28900 = 170,00 m. C: d_C = v(160² + 90²) = v(25600+8100) = v33700 ˜ 183,61 m. Média = (233,24 + 170,00 + 183,61)/3 ˜ 195,62 m. (c) Justificativa: a alocação proporcional preserva as proporções de cada estrato na amostra, reduzindo viés por sub ou super-representação de séries. Medidas para melhorar representatividade: (1) realizar sorteio aleatório simples dentro de cada estrato e controlar taxa de resposta (substituir por amostragem com reposição ou realizar contatos de seguimento); (2) ajustar pesos pós-amostragem para compensar não-resposta e, se necessário, sobreamostrar estratos pequenos para garantir precisão suficiente.

Explicação

A alocação proporcional garante que cada série esteja representada na amostra de acordo com sua proporção total de alunos, evitando distorções nos resultados. O cálculo das distâncias utilizando o teorema de Pitágoras fornece uma medida precisa da localização dos alunos em relação à escola, e a média dessas distâncias permite uma análise geral das posições. As medidas propostas para melhorar a representatividade visam aumentar a precisão e a validade dos dados coletados, assegurando que a amostra reflita adequadamente a população total.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Criar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ situacional🧩 desafio

🎯 Conceito central

amostra estratificada

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

amostra estratificada · teorema de Pitágoras

📚 Reveja

Revisar o teorema de Pitágoras e alocação proporcional em amostras.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir a alocação proporcional com a aleatória, não considerando a importância da representatividade na amostra.

🌎 Tema transversal

cidadania_etica

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cotidiano

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