No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto está em A. Tome A=(0,0), B=(x+1,0) e C=(0,2x-3). Sabe-se que a…

Questão

No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto está em A. Tome A=(0,0), B=(x+1,0) e C=(0,2x-3). Sabe-se que a hipotenusa BC mede 25. Determine x, os comprimentos exatos dos catetos AB e AC e escreva a equação da reta BC, justificando que seu coeficiente angular é negativo.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como AB e AC são catetos perpendiculares, aplica-se Pitágoras: (x+1)^2+(2x-3)^2=25^2. Desenvolvendo: x^2+2x+1+4x^2-12x+9=625 ? 5x^2-10x+10-625=0 ? 5x^2-10x-615=0 ? x^2-2x-123=0. ?=4+492=496=16·31 ? v?=4v31. Assim x=(2±4v31)/2 = 1±2v31. Como comprimentos positivos, x = 1+2v31. Então AB = x+1 = 2+2v31 = 2(1+v31) e AC = 2x-3 = 4v31-1. Para a reta BC, use pontos B(x+1,0) e C(0,2x-3). O coeficiente angular m = (2x-3-0)/(0-(x+1)) = -(2x-3)/(x+1). Substituindo x = 1+2v31 obtemos numerador 4v31-1>0 e denominador 2+2v31>0, logo m < 0; explicitamente m = -(4v31-1)/(2+2v31). A equação da reta em forma ponto-inclinação usando B é: y - 0 = m(x - (x+1)), que pode ser simplificada para a forma geral substituindo m pelo valor exato acima.

Explicação

A aplicação do Teorema de Pitágoras permite encontrar o valor de x, considerando a relação entre os lados do triângulo retângulo. A determinação dos comprimentos dos catetos é feita substituindo o valor de x encontrado, e o cálculo do coeficiente angular da reta BC revela que ele é negativo, pois a variação em y é oposta à variação em x. A equação da reta é então formulada utilizando a forma ponto-inclinação, garantindo que a relação entre os pontos B e C seja respeitada.

Raio-X da questão

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